Question

【題目】如圖，△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF=DC，連接CF．

（1）如果AB=AC，試猜想四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）△ABC滿足什么條件時(shí)四邊形ADCF為正方形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）矩形，證明見解析；（2）△ABC為等腰直角三角形，證明見解析

【解析】

（1）首先利用平行線的性質(zhì)得出△AEF≌△DEB，進(jìn)而得出D為BC的中點(diǎn)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的判定得出即可；

（2）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，利用正方形的判定得出四邊形ADCF為正方形即可．

解：（1）∵AF=DC，AF∥BC，

∴四邊形AFCD為平行四邊形，

∴AF=CD

又∵E為AD的中點(diǎn)，AF∥BD，

∴AE=DE，∠AFE=∠DBE，

在△AEF和△DEB中

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴BD=AF，∴BD=CD，

即D為BC的中點(diǎn)；

連接AB，

∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°

∴平行四邊形AFCD為矩形；

（2）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，四邊形ADCF為正方形；

理由：∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，AD=BC=BD=CD，

∴平行四邊形ADCF為矩形，

∴矩形ADCF為正方形．