【題目】已知在△ABC中,ABAC,∠BACα,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C),點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D,連接BDCD.

(1)如圖1,

①求證:點(diǎn)B,CD在以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓上.

②直接寫(xiě)出∠BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)______.

(2)如圖2,當(dāng)α60°時(shí),過(guò)點(diǎn)DBD的垂線與直線l交于點(diǎn)E,求證:AEBD.

(3)如圖3,當(dāng)α90°時(shí),記直線lCD的交點(diǎn)為F,連接BF.將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)線段BF的長(zhǎng)取得最大值時(shí),直接寫(xiě)出tanFBC的值.

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②(2)證明見(jiàn)解析;(3)tanFBC.

【解析】

1由線段垂直平分線的性質(zhì)可得ADACAB,即可證點(diǎn)B,C,D在以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓上;

由圓周角定理可得∠BAC2∠BDC,可求∠BDC的度數(shù);

2)連接CE,由題意可證△ABC,△DCE是等邊三角形,可得ACBC,∠DCE60°∠ACB,CDCE,根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE,可得AEBD;

3)取AC的中點(diǎn)O,連接OB,OF,BF,由三角形的三邊關(guān)系可得,當(dāng)點(diǎn)O,點(diǎn)B,點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí),BF最長(zhǎng),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求,OHHC,BH3HC,即可求tan∠FBC的值.

證明:(1如圖1,連接DA,

點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D,

∴ADAC,且ABAC,

∴ADABAC

點(diǎn)B,CD在以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓上;

②∵點(diǎn)B,C,D在以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓上,

∴∠BDC;

2)如圖2,連接CE,

∵∠BAC60°,ABAC

∴△ABC是等邊三角形,

∴BCAC,∠ACB60°

∵∠BDC,

∴∠BDC30°,

∵BD⊥DE,

∴∠CDE60°,

點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D

∴DECE,且∠CDE60°,

∴△CDE是等邊三角形,

∴CDCEDE,∠DCE60°∠ACB

∴∠BCD∠ACE,且ACBC,CDCE

∴△BCD≌△ACE(SAS),

∴BDAE;

3)如圖3,取AC的中點(diǎn)O,連接OBOF,BF,

△BOF中,BO+OF≥BC

當(dāng)點(diǎn)O,點(diǎn)B,點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí),BF最長(zhǎng),

如圖,過(guò)點(diǎn)OOH⊥BC,

∵∠BAC90°ABAC,

∴BCAC,∠ACB45°,

∴∠COH∠HCO45°,

∴OHHC,

∴OCHC,

點(diǎn)OAC中點(diǎn),

∴AC2HC,

∴BC4HC,

∴BHBCHC3HC

∴tan∠FBC.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)平移后點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,矩形的邊的圖象均無(wú)公共點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍____________.

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