【題目】如圖,拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D.

(1)寫(xiě)出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含a的式子表示);
(2)設(shè)SBCD:SABD=k,求k的值;
(3)當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí),求對(duì)應(yīng)拋物線的解析式.

【答案】
(1)

解:在y=a(x﹣1)(x﹣3),令x=0可得y=3a,

∴C(0,3a),

∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a,

∴D(2,﹣a);


(2)

解:在y=a(x﹣1)(x﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3,

∴A(1,0),B(3,0),

∴AB=3﹣1=2,

∴SABD= ×2×a=a,

如圖,設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,設(shè)直線CD解析式為y=kx+b,

把C、D的坐標(biāo)代入可得 ,解得 ,

∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a,令y=0可解得x= ,

∴E( ,0),

∴BE=3﹣ =

∴SBCD=SBEC+SBED= × ×(3a+a)=3a,

∴SBCD:SABD=(3a):a=3,

∴k=3;


(3)

解:∵B(3,0),C(0,3a),D(2,﹣a),

∴BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2,BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2

∵∠BCD<∠BCO<90°,

∴△BCD為直角三角形時(shí),只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況,

①當(dāng)∠CBD=90°時(shí),則有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此時(shí)拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;

②當(dāng)∠CDB=90°時(shí),則有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=﹣ (舍去)或a= ,此時(shí)拋物線解析式為y= x2﹣2 x+ ;

綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí),拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+


【解析】(1)令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo),化為頂點(diǎn)式可求得D點(diǎn)坐標(biāo);(2)令y=0可求得A、B的坐標(biāo),結(jié)合D點(diǎn)坐標(biāo)可求得△ABD的面積,設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,由C、D坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式,則可求得E點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出△BCD的面積,可求得k的值;(3)由B、C、D的坐標(biāo),可表示出BC2、BD2和CD2 , 分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況,分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程,可求得a的值,則可求得拋物線的解析式.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)F、B、E、C在同一直線上,并且BF=CE∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF?如果能,請(qǐng)給出證明;如果不能,請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件,添加到已知條件中,使△ABC≌△DEF,并給出證明.

提供的三個(gè)條件是:①AB=DE;②AC=DF③AC∥DF

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【題目】已知一張三角形紙片ABC(如圖甲),其中AB=AC.將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處,折痕為BD(如圖乙).再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合,折痕為EF(如圖丙).原三角形紙片ABC中,∠ABC的大小為______°.

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【題目】如圖是拋物線y1ax2+bx+c(a0)圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(13),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0),直線y2mx+n(m0)與拋物線交于AB兩點(diǎn),下列結(jié)論:①2a+b0;m+n3;拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(1,0);方程ax2+bx+c3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)1x4時(shí),有y2y1,其中正確的是(  )

A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤

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【題目】某縣為了了解2018年初中畢業(yè)生畢業(yè)后的去向,對(duì)部分九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查,就九年級(jí)學(xué)生的四種去向(A.讀普通高中;B.讀職業(yè)高中;C.直接進(jìn)入社會(huì)就業(yè);D.其他)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),并繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖①②)請(qǐng)問(wèn):

1)本次共調(diào)查了_ 名初中畢業(yè)生;

2)請(qǐng)計(jì)算出本次抽樣調(diào)查中,讀職業(yè)高中的人數(shù)和所占百分比,并將兩幅統(tǒng)計(jì)圖中不完整的部分補(bǔ)充完整;

3)若該縣2018年九年級(jí)畢業(yè)生共有人,請(qǐng)估計(jì)該縣今年九年級(jí)畢業(yè)生讀職業(yè)高中的學(xué)生人數(shù).

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【題目】如圖甲,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使以C,P,M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)0<x<3時(shí),在拋物線上求一點(diǎn)E,使△CBE的面積有最大值(圖乙、丙供畫(huà)圖探究).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】中,

1)如圖①,點(diǎn)在斜邊上,以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn),交于點(diǎn),與邊相切于點(diǎn).求證:;

2)在圖②中作,使它滿足以下條件:

①圓心在邊上;②經(jīng)過(guò)點(diǎn);③與邊相切.

(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)出作法)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC1cm/s的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

(1)求BC邊的長(zhǎng);

(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】計(jì)算:

(1)3()()()

(2)25.7(7.3)(13.7)7.3;

(3)(2.125)()()(3.2);

(4)(0.8)6.4(9.2)3.6(1)

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