【題目】在菱形ABCD中,∠BAD60°

(1) 如圖1,點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn),連接DE、CE.若AB4,求線段EC的長(zhǎng)

(2) 如圖2,M為線段AC上一點(diǎn)(不與AC重合),以AM為邊向上構(gòu)造等邊三角形AMN,線段MNAD交于點(diǎn)G,連接NC、DM,Q為線段NC的中點(diǎn),連接DQ、MQ,判斷DMDQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論

(3) (2)的條件下,若AC,請(qǐng)你直接寫出DMCN的最小值

【答案】(1)EC=2;(2)證明見解析;(32

【解析】

1)如圖1,連接對(duì)角線BD,先證明ABD是等邊三角形,根據(jù)EAB的中點(diǎn),由等腰三角形三線合一得:DEAB,利用勾股定理依次求DEEC的長(zhǎng);

2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,先證明ADH是等邊三角形,再由AMN是等邊三角形,得條件證明ANH≌△AMDSAS),則HN=DM,根據(jù)DQCHN的中位線,得HN=2DQ,由等量代換可得結(jié)論.

3)先判斷出點(diǎn)NCD的延長(zhǎng)線上時(shí),CN+DM最小,最小為CH,再判斷出∠ACD=30°,即可用三角函數(shù)求出結(jié)論.

(1)如圖1,連接BD,BD平分∠ABC,

∵四邊形ABCD是菱形,

ADBC,

∴∠A+ABC=180,

∵∠A=60,

∴∠ABC=120,

ABD是等邊三角形,

BD=AD=4,

EAB的中點(diǎn),

由勾股定理得:DE=2,

DCAB,

∴∠EDC=DEA=90,

RtDEC,

EC=2

(2)如圖2,延長(zhǎng)CDH,使CD=DH,連接NH、AH,

AD=CD,

AD=DH,

CDAB,

∴∠HDA=BAD=60,

ADH是等邊三角形,

AH=AD, HAD=60,

AMN是等邊三角形,

AM=AN, NAM=60,

∴∠HAN=DAM,

ANHAMD,

HN=DM,

DCH的中點(diǎn),QNC的中點(diǎn),

DQCHN的中位線,

HN=2DQ,

DM=2DQ

(3) 如圖2,由(2)知,HN=DM,

∴要CN+DM最小,便是CN+HN最小,

即:點(diǎn)C,H,N在同一條線上時(shí),CN+DM最小,

此時(shí),點(diǎn)D和點(diǎn)Q重合,

即:CN+DM的最小值為CH,

如圖3

由(2)知,ADH是等邊三角形,

∴∠H=60°

AC是菱形ABCD的對(duì)角線,

∴∠ACD=BCD=BAD=30°

∴∠CAH=180°-30°-60°=90°,

RtACH中,CH==2,

DM+CN的最小值為2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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下面是小明的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整

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其中m=__________;

2如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy,描出了以上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)根據(jù)描出的點(diǎn)畫出該函數(shù)的圖象;

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4進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)

方程有個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根;

有兩個(gè)點(diǎn)x1,y1x2,y2在此函數(shù)圖象上,當(dāng)x2x12時(shí)比較y1y2的大小關(guān)系為

y1________y2 填“、”或“=”);

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