Question

【題目】如圖，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，將△ABE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDF

(1) 在圖中畫(huà)出點(diǎn)O和△CDF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過(guò)程

(2) 若AE＝12，AB＝13，求EF的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）連接AC和BD，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)可判斷它們的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心O，延長(zhǎng)EO到F，使FO=EO，則△CDF滿足條件；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥OE與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出BE=5，再利用正方形的性質(zhì)得OA=OB，∠AOB=90°，則∠AOE=∠BOG，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠GBO=∠EAO，于是可判斷△EAO≌△GBO，所以AE=BG=12，OE=OG，然后判斷△GEO為等腰直角三角形，則可得到OE=EG=（BG-BE）=，從而得到EF=7.

本題解析：

(1)連接 AC 和 BD ，則它們的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心 O ，延長(zhǎng) EO 到 F ，使 FO=EO ，

如圖，點(diǎn) O 和 △CDF 為所作；

(2)過(guò)點(diǎn) O 作 OG⊥OE 與 EB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G ，如圖，

在 Rt△ABE 中 ,BE= ，

∵ 四邊形 ABCD 為正方形，

∴OA=OB,∠AOB=90°，

而 ∠EOG=90°，

∴∠AOE=∠BOG°，

∵∠AEB=∠AOB=90°，

∴∠GBO=∠EAO，

∴ 在 △EAO 和 △GBO 中，

，

∴△EAO ≌ △GBO ，

∴AE=BG=12， OE=OG ，

∴△GEO 為等腰直角三角形，

∴OE=EG= (BGBE)= ×(125)= ，

∴EF=2OE=7.