Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形AEDF為菱形．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）試探究：當矩形ABCD邊長滿足什么關系時，菱形AEDF為正方形？請說明理由．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),正方形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，AB=DC，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AE=DE，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△DCE全等即可；
（2）BC=2AB時，菱形AEDF為正方形．根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=CE，然后求出AB=BE，從而求出∠BAE=∠AEB=45°，同理可得∠DEC=45°，然后求出∠AED=90°，最后根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形判斷．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵四邊形AEDF為菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，

AB=DC AE=DE

，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；

（2）解：當BC=2AB時，菱形AEDF為正方形．
理由：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
同理可得，∠DEC=45°，
∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
∴∠AED=180°-∠AEB-∠DEC=90°，
∴菱形AEDF是正方形．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，綜合題，難度不大，熟記各圖形性質(zhì)是解題的關鍵．