Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x²+2mx（m＞0）與x軸的另一個交點(diǎn)為A．過點(diǎn)P（1，m）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C（點(diǎn)B，點(diǎn)C不重合）．連接CB，CP．
（1）當(dāng)m=

5

2

時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長；
（2）當(dāng)m＞1時，連接CA，當(dāng)CA⊥CP時，求m的值；
（3）過點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點(diǎn)E恰好落在坐標(biāo)軸上？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把m=

5

2

，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而求出BC的長；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到：

AH

CH

=

PB

BC

，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；
（3）存在，本題要分當(dāng)m＞1時，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當(dāng)0＜m＜1時，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)m=

5

2

時，y=-x²+5x；
令y=0，得-x²+5x=0．
∴x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0）．
當(dāng)x=1時，y=4，
∴B（1，4）．
∵拋物線y=-x²+5x的對稱軸為直線x=

5

2

，
又∵點(diǎn)B，C關(guān)于對稱軸對稱，
∴BC=3；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖）．
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB．
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
tan∠ACH=tan∠PCB．
∴

AH

CH

=

PB

BC

．
∵拋物線y=-x²+2mx的對稱軸為直線x=m，其中m＞1，
又∵B，C關(guān)于對稱軸對稱，
∴BC=2（m-1）．
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1．
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0）．
∴AH=1，CH=2m-1．
∴

1

2m-1

=

m-1

2(m-1)

，
∴m=

3

2

；

（3）存在．
∵B，C不重合，
∴m≠1，分兩種情況：
①當(dāng)m＞1時，m=2，相對應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）或（0，4）；
②當(dāng)0＜m＜1時，m=

2

3

．，相對應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)是（

4

3

，0）；
∴E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）或（0，4）或（

4

3

，0）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定、需注意的是（3）題在不確E點(diǎn)的情況下需要分類討論，以免漏解．題目的綜合性強(qiáng)，難度也很大，有利于提高學(xué)生的綜合解題能力，是一道不錯的題目．