Question

如圖所示，∠AOB=45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，P₁、P₂分別是點(diǎn)P關(guān)于兩邊OA和OB的對稱點(diǎn)，連P₁P₂與角兩邊交于Q、R．
（1）當(dāng)P₁P₂=20cm時，△PQR的周長=

 

cm；
（2）連接OP₁、OP₂，則△OP₁P₂為

 

三角形；
（3）求∠QPR的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PQ=P₁Q，PR=P₂R，然后求出△PQR的周長=P₁P₂；
（2）連接OP，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得OP₁=OP=OP₂，∠AOP₁=AOP，∠BOP₂=∠BOP，再求出∠P₁OP₂=2∠AOB=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的定義判定即可；
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠OPQ=∠P₁，∠OPR=∠P₂，然后求解即可．

解答：解：（1）∵P₁、P₂分別是點(diǎn)P關(guān)于兩邊OA和OB的對稱點(diǎn)，
∴PQ=P₁Q，PR=P₂R，
∴△PQR的周長=P₁P₂=20cm；

（2）如圖，連接OP，
由軸對稱的性質(zhì)得，OP₁=OP=OP₂，∠AOP₁=AOP，∠BOP₂=∠BOP，
所以，∠P₁OP₂=2∠AOB=90°，
∴△OP₁P₂為等腰直角三角形；

（3）∵∠P₁OP₂=90°，
∴∠P₁+∠P₂=90°，
由軸對稱的性質(zhì)得，∠OPQ=∠P₁，∠OPR=∠P₂，
∴∠QPR=∠OPQ+∠OPR=90°．
故答案為：（1）20；（2）等腰直角．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．