Question

已知A、B、C是半徑為1的⊙O上的不同三點(diǎn)，過點(diǎn)A作OB、OC所在的直線的垂線AM、AN，其中M、N為垂足，則線段MN的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理,四點(diǎn)共圓

專題：

分析：易證A、M、O、N四點(diǎn)在以O(shè)A為直徑的圓上，根據(jù)正弦定理得

MN

sin∠MAN

=OA=1，則有MN=sin∠MAN，sin∠MAN的最大值就是MN的最大值．

解答：解：連接OA，如圖．
∵AM⊥OB，AN⊥OC，
∴∠AMB=∠ANO=90°，
∴A、M、O、N四點(diǎn)在以O(shè)A為直徑的圓上，
根據(jù)正弦定理得

MN

sin∠MAN

=OA=1
∴MN=sin∠MAN．
∵sin∠MAN≤1，
∴當(dāng)sin∠MAN=1即∠MAN=90°時(shí)，MN取最大值，最大值為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定、正弦定理等知識(shí)，本題所使用的四點(diǎn)共圓的判定方法是：若四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角，則四點(diǎn)共圓；所使用的正弦定理的內(nèi)容是：若a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，則有

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2r（r為△ABC外接圓的半徑）．