Question

如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點(diǎn)，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N．則4個(gè)結(jié)論：
①∠EDF=90°；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③AD²+AF²=DG•DB；④若MC=

2

，則BF=2；
正確的結(jié)論有（　　）

• A、①②
• B、①②③
• C、③④
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，判斷出①正確；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判斷出△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判斷出②正確；根據(jù)勾股定理可得AD²+AF²=DF²，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理可得DG•DB=DE²，然后求出AD²+AF²=DG•DB，判斷出③正確；連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=

1

2

EF，然后判斷出直線CM垂直平分BD，過點(diǎn)M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出④正確．

解答：解：正方形ABCD中，AD=CD，
在△ADF和△CDE中，

AD=CD ∠A=∠DCE=90° AF=EC

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF=∠CDE，
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，故①正確；
DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對(duì)頂角相等），
∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正確；
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD²+AF²=DF²，
由△EDG∽△BDE得，

DG

DE

=

DE

BD

，
∴DG•DB=DE²，
∵DE=DF，
∴AD²+AF²=DG•DB，故③正確；
連接BM、DM，
∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM=DM=

1

2

EF，
又∵BC=CD，
∴直線CM是BD的垂直平分線，
過點(diǎn)M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，
∵M(jìn)C=

2

，
∴MH=

2

2

×

2

=1，
∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位線，
∴BF=2MH=2，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線是解題的關(guān)鍵．