【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C,且OC=2OA.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)直線y=kx+1(k>0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,記m=,試求m的最大值及此時點P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點Q是x軸上的一個動點,點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點,是否存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形?如果存在,請求出點N的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣(x+2)(x﹣4)或y=﹣x2+x+4或y=﹣(x﹣1)2+.(2)最大值為,此時P(2,4).(3)(,3)或(6,﹣3).
【解析】試題分析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣4),根據(jù)已知條件求得點C的坐標(biāo)代入解析式求得a值,即可得拋物線的解析式;(2)作PE⊥x軸于E,交BC于F,易證△CMD∽△FMP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得m=,設(shè)P(n,﹣n2+n+4),則F(n,﹣n+4),用n表示出PF的長,從而得到m、n的二次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可;(3)存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形,分DP是矩形的邊和DP是矩形的對角線兩種情況求點N的坐標(biāo).
試題解析:
(1)因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,設(shè)y=a(x+2)(x﹣4),
∵OC=2OA,OA=2,
∴C(0,4),代入拋物線的解析式得到a=﹣,
∴y=﹣(x+2)(x﹣4)或y=﹣x2+x+4或y=﹣(x﹣1)2+.
(2)如圖1中,作PE⊥x軸于E,交BC于F.
∵CD∥PE,
∴△CMD∽△FMP,
∴m==,
∵直線y=kx+1(k>0)與y軸交于點D,則D(0,1),
∵BC的解析式為y=﹣x+4,
設(shè)P(n,﹣n2+n+4),則F(n,﹣n+4),
∴PF=﹣n2+n+4﹣(﹣n+4)=﹣(n﹣2)2+2,
∴m==﹣(n﹣2)2+,
∵﹣<0,
∴當(dāng)n=2時,m有最大值,最大值為,此時P(2,4).
(3)存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形.
①當(dāng)DP是矩形的邊時,有兩種情形,
a、如圖2﹣1中,四邊形DQNP是矩形時,
有(2)可知P(2,4),代入y=kx+1中,得到k=,
∴直線DP的解析式為y=x+1,可得D(0,1),E(﹣,0),
由△DOE∽△QOD可得=,
∴OD2=OEOQ,
∴1=OQ,
∴OQ=,
∴Q(,0).
根據(jù)矩形的性質(zhì),將點P向右平移個單位,向下平移1個單位得到點N,
∴N(2+,4﹣1),即N(,3)
b、如圖22中,四邊形PDNQ是矩形時,
∵直線PD的解析式為y=x+1,PQ⊥PD,
∴直線PQ的解析式為y=﹣x+,
∴Q(8,0),
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知,將點D向右平移6個單位,向下平移4個單位得到點N,
∴N(0+6,1﹣4),即N(6,﹣3).
②當(dāng)DP是對角線時,設(shè)Q(x,0),則QD2=x2+1,QP2=(x﹣2)2+42,PD2=13,
∵Q是直角頂點,
∴QD2+QP2=PD2,
∴x2+1+(x﹣2)2+16=13,
整理得x2﹣2x+4=0,方程無解,此種情形不存在,
綜上所述,滿足條件的點N坐標(biāo)為(,3)或(6,﹣3).
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【題目】圖①是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時的情景,圖②是小明鍛煉時上半身由ON位置運(yùn)動到與地面垂直的OM位置時的示意圖.已知AC=0.66米,BD=0.26米,α=20°.(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)
(1)求AB的長(精確到0.01米);
(2)若測得ON=0.8米,試計算小明頭頂由N點運(yùn)動到M點的路徑的長度.(結(jié)果保留π)
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【題目】如圖,點A,B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為-4和+16,A,B兩點間的距離可記為AB
(1) 點C在數(shù)軸上A,B兩點之間,且AC=BC,則C點對應(yīng)的數(shù)是_________
(2) 點C在數(shù)軸上A,B兩點之間,且BC=4AC,則C點對應(yīng)的數(shù)是_________
(3) 點C在數(shù)軸上,且AC+BC=30,求點C對應(yīng)的數(shù)?
(4) 若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a,B表示的數(shù)是b,則AB=_________
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【題目】如圖,點P是邊長為的正方形ABCD的對角線BD上的動點,過點P分別作PE⊥BC于點E,PF⊥DC于點F,連接AP并延長,交射線BC于點H,交射線DC于點M,連接EF交AH于點G,當(dāng)點P在BD上運(yùn)動時(不包括B、D兩點),以下結(jié)論中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PMPH;④EF的最小值是.其中正確結(jié)論是( 。
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
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【題目】某檢修小組從地出發(fā),在東西向的馬路上檢修線路,如果規(guī)定向東行駛為正,向西行駛為負(fù),一天中七次行駛紀(jì)錄如下.(單位:)
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 |
求收工時,檢修小組在地的哪個方向?距離地多遠(yuǎn)?
在第幾次紀(jì)錄時距地最遠(yuǎn)?
若汽車行駛每千米耗油升,問從地出發(fā),檢修結(jié)束后再回到地共耗油多少升?
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【題目】溫州享有“中國筆都”之稱,其產(chǎn)品暢銷全球,某制筆企業(yè)欲將n件產(chǎn)品運(yùn)往A,B,C三地銷售,要求運(yùn)往C地的件數(shù)是運(yùn)往A地件數(shù)的2倍,各地的運(yùn)費如圖所示.設(shè)安排x件產(chǎn)品運(yùn)往A地.
(1)當(dāng)n=200時,①根據(jù)信息填表:
A地 | B地 | C地 | 合計 | |
產(chǎn)品件數(shù)(件) | x | 2x | 200 | |
運(yùn)費(元) | 30x |
②若運(yùn)往B地的件數(shù)不多于運(yùn)往C地的件數(shù),總運(yùn)費不超過4000元,則有哪幾種運(yùn)輸方案?
(2)若總運(yùn)費為5800元,求n的最小值.
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【題目】如圖,直線y=kx-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點,OB:OC=.
(1)求B點的坐標(biāo)和k的值.
(2)若點A(x,y)是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個動點,當(dāng)點A運(yùn)動過程中,試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點A運(yùn)動到什么位置時,△AOB的面積是.
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【題目】閱讀材料:
如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,記p=,那么這個三角形的面積S=.這個公式叫“海倫公式”,它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式。中國的秦九韶也得出了類似的公式,稱三斜求積術(shù),故這個公式又被稱為“海倫秦---九韶公式”完成下列問題:
如圖,在△ABC中,a=7,b=5,c=6.
(1)求△ABC的面積;
(2)設(shè)AB邊上的高為h1,AC邊上的高為h2,求h1 +h2的值
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【題目】在某一城市美化工程招標(biāo)時,有甲、乙兩個工程隊投標(biāo).經(jīng)測算:甲隊單獨完成這項工程需要60天,乙隊單獨完成這項工程需要90天;若由甲隊先做20天,剩下的工程由甲、乙兩隊合做完成.
(1)甲、乙兩隊合作多少天?
(2)甲隊施工一天需付工程款3.5萬元,乙隊施工一天需付工程款2萬元.若該工程計劃在70天內(nèi)完成,在不超過計劃天數(shù)的前提下,是由甲隊或乙隊單獨完成該工程省錢?還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢?
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