Question

如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并且延長交OC于E．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，試探究線段OG與AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定,等邊三角形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）首先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAO=∠DOA=30°，進(jìn)而算出∠AEO=60°，再證明BC∥AE，CO∥AB，進(jìn)而證出四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=2AB-x，再利用三角函數(shù)可計(jì)算出AO，再利用勾股定理表示出線段OG與AB的數(shù)量關(guān)系即可．

解答：（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn)，
∴AD=

1

2

OB，OD=BD=

1

2

OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC為等邊三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）解：∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴AO=AB÷tan30°=

3

AB，BO=2AB，
設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=2AB-x，
在Rt△ABO中，
在Rt△OAG中，OG²+OA²=AG²，
x²+（

3

AB）²=（2AB-x）²，
解得：x=

1

4

AB，
即OG=

1

4

AB．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．