Question

如果方程x²+px+q=0的兩個(gè)根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁．x₂=q，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：
（1）已知關(guān)于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0），求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；
（2）已知a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求的值；
（3）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x₁，x₂，
則：+==-，
•==，
若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，
則這個(gè)一元二次方程是：x²+x+=0；

（2）∵a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是x²-15x-5=0的解，
當(dāng)a≠b時(shí)，a+b=15，ab=-5，
====-47．
當(dāng)a=b時(shí)，原式=2；

（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=，
∴a、b是方程x²+cx+=0的解，
∴c²-4•≥0，
c²-≥0，
∵c是正數(shù)，
∴c³-4³≥0，
c³≥4³，
c≥4，
∴正數(shù)c的最小值是4．
分析：（1）先設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x₁，x₂，得出+=-，•=，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案．
（2）根據(jù)a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，得出a，b是x²-15x-5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（3）根據(jù)a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x²+cx+=0的解，再根據(jù)c²-4•≥0，即可求出c的最小值．
點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．