Question

已知：如圖，△ABC≌△CAD．
（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）若AE、CF分別平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB=∠B，求證：四邊形AECF為菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定,全等三角形的性質,平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據全等三角形的性質得到三組對應邊相等，然后利用兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形判定即可；
（2）利用AE、CF分別平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB=∠B得到四邊形AECF的四條邊相等，然后利用四條邊都相等的四邊形是菱形判定菱形即可．

解答：證明：（1）∵△ABC≌△CAD，
∴AB=AC，AC=CD，BC=AD． 
∴AB=CD．
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
（2）∵由（1）知，AB=AC，
∴∠ACB=∠B．
又∵∠CFB=∠B，
∴∠ACB=∠CFB．
∴∠BCF=∠CAB，
又∵∠ACF=∠BCF，
∴∠ACF=∠CAF．
∴AF=CF． 
∵∠CFB=∠B，
∴CF=CB．
∴AF=CF=CB． 
同理AE=CE=AD．
又∵CB=AD，
∴AF=CF=AE=CE．
∴四邊形AECF為菱形．

點評：本題考查了全等三角形的性質、菱形的判定等知識，解題的關鍵是了解有關特殊四邊形的判定定理，難度不大．