Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且△HAB的面積是6，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）H（﹣2，3）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）通過解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．

（2）根據(jù)AB的長和三角形面積求得H的縱坐標(biāo)為3，代入解析式即可求得橫坐標(biāo)；

（3）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．

解：（1）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）∵A（﹣3，0），B（1，0）．

∴AB=4，

∵△HAB的面積是6，點(diǎn)H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，

∴H的縱坐標(biāo)為3，

把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3得3=﹣x2﹣2x+3，解得x1=0，x2=﹣2，

∴H（﹣2，3）；

（3）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1，

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴當(dāng)m=﹣2時矩形的周長最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

則解得：，

∴解析式y=x+3，當(dāng)x=﹣2時，則E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AMEM=．