Question

已知四邊形OABC的一邊OA在x軸上，O為原點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）．
（1）如圖①，若四邊形OABC的頂點(diǎn)C（1，4），A（5，0），直線CD平分該四邊形的面積且交x軸于點(diǎn)D，試求出△OAC的面積和D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖②，四邊形OABC是平行四邊形，頂點(diǎn)C在第一象限，直線y=kx-1平分該四邊形的面積，若關(guān)于x的函數(shù)y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）△OAC的面積可以直接利用三角形的面積公式求解；過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥CE于點(diǎn)F，根據(jù)S_{四邊形OABC}=S_△OCE+S_△BCF+S_梯形FEAB即可求得四邊形OABC的面積，然后設(shè)D的坐標(biāo)是（x，0），根據(jù)△OCD的面積等于四邊形OABC的面積的一半，即可列方程求得x的值，即可得到D的坐標(biāo)；
（2）直線y=kx-1平分平行四邊形OABC，直線y=kx-1一定經(jīng)過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)，即OB的中點(diǎn)，據(jù)此即可求得k的值，然后分關(guān)于x的函數(shù)y=mx²-（3m+k）x+2m+k是一次函數(shù)與二次函數(shù)兩種情況進(jìn)行討論即可求解．

解答：解：（1）過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥CE于點(diǎn)F．
則E的坐標(biāo)是（1，0），F(xiàn)的坐標(biāo)是（1，2）．
則S_△OCE=

1

2

×OE×CE=

1

2

×1×4=2，
S_△BCF=

1

2

BF•CF=

1

2

×3×2=3，
S_梯形FEAB=

1

2

（AE+BF）•EF=

1

2

（4+3）×2=7，
則S_{四邊形OABC}=2+3+7=12，
設(shè)D的坐標(biāo)是（x，0），則S_△OCD=

1

2

×4x=2x=

1

2

×12，
解得：x=3，
則D的坐標(biāo)是（3，0），
S_△AOC=

1

2

×5×4=10；

（2）∵直線y=kx-1平分平行四邊形OABC，
∴直線y=kx-1一定經(jīng)過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)，即OB的中點(diǎn)，
又∵B的坐標(biāo)是（4，2），即中點(diǎn)是（2，1），
∴把（2，1）代入y=kx-1得：2k-1=1，
解得：k=1，
則關(guān)于x的函數(shù)y=mx²-（3m+k）x+2m+k是：y=mx²-（3m+1）x+2m+1．
當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)，即m=0時(shí)，與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)m≠0時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，則△=（3m+1）²-4m（2m+1）=0，即m²+2m+1=0，解得m=-1．
綜上所述m=0或m=-1時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的面積、方程的解以及函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的綜合應(yīng)用，正確求得四邊形OABC的面積是關(guān)鍵．