Question

【題目】如圖，在正方形中，，是的中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點落在的延長線上點處，點落在點處．再將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，．

（1）求證：；

（2）求點，點在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行證明；
（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據(jù)S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC-S扇形FAG列式計算即可得解．

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，
∵△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，
∴∠AFB+∠FAB=90°，
∵線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，
∴EC∥FG，
∵AF=CE，AF=FG，
∴EC=FG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點，
∴BF=BE=×2=1，
∴AF= ，
由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，
∴S△FEC=S△CGF，
∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC-S扇形FAG，
= ，

．