如圖,拋物線與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3),設拋物線的頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標.
(2)試判斷△BCD的形狀,并說明理由.
(3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

(1)y=-x2-2x+3,(-1,4);(2)△BCD是直角三角形.理由見解析;(3)存在,p1(0,0)、p2(0,)、p3(-9,0).

解析試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
(2)利用勾股定理求得△BCD的三邊的長,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷;
(3)分p在x軸和y軸兩種情況討論,舍出P的坐標,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解.
試題解析:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c
由拋物線與y軸交于點C(0,3),可知c=3.即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3.
把點A(1,0)、點B(-3,0)代入,得

解得a=-1,b=-2
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4
∴頂點D的坐標為(-1,4);
(2)△BCD是直角三角形.理由如下:
解法一:過點D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F.

∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD為直角三角形.
解法二:過點D作DF⊥y軸于點F.
在Rt△BOC中,∵OB=3,OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD為直角三角形.
(3)①△BCD的三邊,,又,故當P是原點O時,△ACP∽△DBC;
②當AC是直角邊時,若AC與CD是對應邊,設P的坐標是(0,a),則PC=3﹣a,,即,解得:a=﹣9,則P的坐標是(0,﹣9),三角形ACP不是直角三角形,則△ACP∽△CBD不成立;
③當AC是直角邊,若AC與BC是對應邊時,設P的坐標是(0,b),則PC=3﹣b,則,即,解得:b=,故P是(0,)時,則△ACP∽△CBD一定成立;
④當P在x軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側,設P的坐標是(d,0).
則AP=1﹣d,當AC與CD是對應邊時,,即,解得:d=1﹣3,此時,兩個三角形不相似;
⑤當P在x軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側,設P的坐標是(e,0).
則AP=1﹣e,當AC與DC是對應邊時,,即,解得:e=﹣9,符合條件.
總之,符合條件的點P的坐標為:p1(0,0)、p2(0,)、p3(-9,0).
考點: 二次函數(shù)綜合題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=-x2+(m-1)x+4m的圖象與x軸負半軸交于點A,與y軸交于點B(0,4),已知點E(0,1).

(1)求m的值及點A的坐標;
(2)如圖,將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′,連結A′B、BE′.
①當點E′落在該二次函數(shù)的圖象上時,求AA′的長;
②設AA′=n,其中0<n<2,試用含n的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值時點E′的坐標;
③當A′B+BE′取得最小值時,求點E′的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(4,3),(3,0).
(1)b=        ,c=         ;
(2)選取適當?shù)臄?shù)據(jù)填寫下表,并在右圖的直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖像;

x

 
 
 
 
 

y

 
 
 
 
 

 
(3)若將此圖象沿x軸向左平移3個單位,直接寫出平移后圖象所對應的函數(shù)關系式           .

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系xOy中,將拋物線C1:y=x2+3先向右平移1個單位,再向下平移7個單位得到拋物線C2。C2的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)。

(1)求拋物線C2的解析式;
(2)若拋物線C2的對稱軸與x軸交于點C,與拋物線C2交于點D,與拋物線C1交于點E,連結AD、DB、BE、EA,請證明四邊形ADBE是菱形,并計算它的面積;
(3)若點F為對稱軸DE上任意一點,在拋物線C2上是否存在這樣的點G,使以O、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形,如果存在,請求出點G的坐標,如果不存在,請說明理由。

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知二次函數(shù)y1=ax2+bx-3的圖象經(jīng)過點A(2,-3),B(-1,0),與y軸交于點C,與x軸另一交點交于點D.

(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求點C、點D的坐標;
(3)若一條直線y2,經(jīng)過C、D兩點,請直接寫出y1>y2時,的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,直線AB分別交y軸、x 軸于A、B兩點,OA=2,,拋物線過A、B兩點.

(1)求直線AB和這個拋物線的解析式;
(2)設拋物線的頂點為D,求△ABD的面積
(3)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當t 取何值時,MN的長度l有最大值?最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

有兩個直角三角形,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=6,在△DEF中,∠FDE=90°,DE=DF=4。將這兩個直角三角形按圖1所示位置擺放,其中直角邊在同一直線上,且點與點重合。現(xiàn)固定,將以每秒1個單位長度的速度在上向右平移,當點與點重合時運動停止。設平移時間為秒。

(1)當       秒時,邊恰好經(jīng)過點;當       秒時,運動停止;
(2)在平移過程中,設重疊部分的面積為,請直接寫出的函數(shù)關系式,并寫出的取值范圍;
(3)當停止運動后,如圖2,為線段上一點,若一動點從點出發(fā),先沿方向運動,到達點后再沿斜坡方向運動到達點,若該動點在線段上運動的速度是它在斜坡上運動速度的2倍,試確定斜坡的坡度,使得該動點從點運動到點所用的時間最短。(要求,簡述確定點位置的方法,但不要求證明。)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖1,已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過A(3,0)、B(4,4)、D(2, n)三點.

(1)求拋物線的解析式及點D坐標;
(2)點M是拋物線對稱軸上一動點,求使BM-AM的值最大時的點M的坐標;
(3)如圖2,將射線BA沿BO翻折,交y軸于點C,交拋物線于點N,求點N的坐標;
(4)在(3)的條件下,連結ON,OD,如圖2,請求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標(點P、O、D分別與點N、O、B對應).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過原點O和點A(2,0).

(1)寫出拋物線的對稱軸與x軸的交點坐標;
(2)點(x1,y1),(x2,y2)在拋物線上,若x1<x2<1,比較y1,y2的大;
(3)點B(﹣1,2)在該拋物線上,點C與點B關于拋物線的對稱軸對稱,求直線AC的函數(shù)關系式.

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