【題目】如圖,RtCEF中,∠C=90°,∠CEF, CFE外角平分線交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A分別作直線CE、CF的垂線,BD為垂足.

(1)求證:四邊形ABCD是正方形,

(2)已知AB的長為6,求(BE+6)(DF+6)的值,

(3)借助于上面問題的解題思路,解決下列問題:若三角形PQR中,∠QPR=45°,一條高是PH,長度為6,QH=2,則HR= .

【答案】1)見解析;(272;(33.

【解析】

1)根據(jù)三個角是直角的四邊形先證得四邊形ABCD是矩形,再過點(diǎn)AAGEF于點(diǎn)G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AB=AG= AD,問題即得解決;

2)如圖1,通過兩次運(yùn)用HL可證得EF=BE+DF,再設(shè)BE=xDF=y,在RtCEF中,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x、y的等式,再整體代入展開整理后的式子即可得到答案;

3)如圖3,作PRH關(guān)于PR對稱的△PRN,作PQH關(guān)于PQ對稱的△PQMNRMQ的延長線交于點(diǎn)K,先根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明四邊形PNKM是正方形,再根據(jù)(2)的結(jié)論即可求出結(jié)果.

解:(1)證明:∵ADCD,ABCB,∠C=90°,

∴四邊形ABCD是矩形,

如圖1,過點(diǎn)AAGEF于點(diǎn)G,

AF平分∠DFEADCD,

AG=AD,

同理可得:AG=AB,

AB=AD.

∴矩形ABCD是正方形.

2)在RtADFRtAGF中,

RtADFRtAGFHL.

DF=GF,

同理可得BE=GE.

EF=GE+GF=BE+DF.

設(shè)BE=EG=x,DF=FG=y,則CE=6x,CF=6y,如圖2

RtCEF中,根據(jù)勾股定理得:,即,整理得:.

.

3)如圖3,作PRH關(guān)于PR對稱的△PRN,作PQH關(guān)于PQ對稱的△PQM,NRMQ的延長線交于點(diǎn)K,則PN=PH=6,PM=PH=6,∠2=1,∠4=3,∠N=PHR=90°,∠M=PHQ=90°,MQ=HQ=2,NR=HR,

PN=PM=6,

∵∠1+3=45°,

∴∠1+2+3+4=90°,即∠NPM=90°,

∴四邊形PNKM是正方形.

∵RQ=RH+HQ=NR+QM

由(2)題的結(jié)論知:,

,解得,即HR=3.

故答案為3.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖1△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD⊥MN于點(diǎn)D,BE⊥MN于點(diǎn)E

1)求證:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE

2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,DE、ADBE又怎樣的關(guān)系?并加以證明.

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【題目】如圖:點(diǎn)D、E、H、G分別在ABC的邊上DEBC,∠3=B,DG、EH交于點(diǎn)F.求證:∠1+2=180°

證明:(請將下面的證明過程補(bǔ)充完整)

DEBC(已知)

∴∠3=EHC______

∵∠3=B(已知)

∴∠B=EHC______

ABEH______

∴∠2+______=180°______

∵∠1=4______

∴∠1+2=180°(等量代換)

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【題目】如圖,ABC內(nèi)接于⊙O,CBG=A,CD為直徑,OCAB相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)EEFBC,垂足為F,延長CDGB的延長線于點(diǎn)P,連接BD.

(1)求證:PG與⊙O相切;

(2)若=,求的值;

(3)在(2)的條件下,若⊙O的半徑為8,PD=OD,求OE的長.

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【題目】已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,且PA=PB,求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,在證明該結(jié)論時,需添加輔助線,則作法不正確的是(  )

A. 作∠APB的平分線PCAB于點(diǎn)C

B. 過點(diǎn)PPCAB于點(diǎn)CAC=BC

C. AB中點(diǎn)C,連接PC

D. 過點(diǎn)PPCAB,垂足為C

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【題目】如圖,∠E=F=90°,∠B=C,AE=AF,下列結(jié)論不正確的結(jié)論是(

A.CD=DN;B.1=2;C.BE=CFD.ACN≌△ABM

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【題目】如圖1,已知AB=AC,D為∠BAC的角平分線上面一點(diǎn),連接BD,CD;如圖2,已知AB=AC,D、E為∠BAC的角平分線上面兩點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE;如圖3,已知AB=AC,D、E、F為∠BAC的角平分線上面三點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次規(guī)律,第n個圖形中有全等三角形的對數(shù)是_________

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【題目】如圖,在中,厘米,,厘米,點(diǎn)的中點(diǎn),如果點(diǎn)在線段上以厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動,同時點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動.當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時,另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.

(1)用含有的代數(shù)式表示,則_______厘米;

(2)若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度相等,經(jīng)過秒后,是否全等,請說明理由;

(3)若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度不相等,那么當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為多少時,能夠使全等?

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(1)如圖1,求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)如圖2,連接AC,點(diǎn)PACD內(nèi)一點(diǎn),連接AP、BP,BPAC交于點(diǎn)G,且∠APB=60°,點(diǎn)E在線段AP上,點(diǎn)F在線段BP上,且BF=AE,連接AF、EF,若∠AFE=30°,求AF2+EF2的值;

(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)PE=AE時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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