Question

已知在△ABC中，BC=120mm，邊BC上的高為80mm，在這個(gè)三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接矩形，矩形的一邊在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．問當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，它的邊長(zhǎng)各是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,矩形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：設(shè)PN=x（mm），

由條件可得△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

120

=

80-PQ

80

，
解得PQ=80-

2

3

x．
∴S=PN•PQ=x（80-

2

3

x）=-

2

3

x²+80x=-

2

3

（x-60）²+2400，
∴S的最大值為2400mm²，
此時(shí)PN=60mm，
PQ=80-

2

3

×60=40（mm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長(zhǎng)與三角形的邊與這邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此題規(guī)律性較強(qiáng)，是道好題．