Question

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已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內切圓O的半徑為r．連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．

∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）r．

∴r=．

（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內切圓（與各邊都相切的圓），如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內切圓半徑r；

（2）理解應用：如圖（3），在四邊形ABCD中，⊙O₁與⊙O₂分別為△ABD與△BCD的內切圓，⊙O₁與△ABD切點分別為E、F、G，設它們的半徑分別為r₁和r₂，若∠ADB=90°，AE=4，BC+CD=10，S_△DBC=9，r₂=1，求r₁的值．

Answer 1

解：（1）連接OA，OB，OC，OD，

∵S_{四邊形ABCD}=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOD+S_△COD=（a+b+c+d）r，

∴r=；

（2）∵S_△DBC=9，r₂=1，

∴BC+CD+BD==18，

∵BC+CD=10，

∴BD=8．

∵⊙O₁是△ABD的內切圓，

∴AE=AG=4，BE=BF，DF=DG，

∴DG+BE=BD=8，

∴設DG=x，則BE=8﹣x，

∵∠ADB=90°，

∴AD²+BD²=AB²，即（4+x）²+8²=（4+8﹣x）²，解得x=2，

∴AD=AG+DG=4+2=6，

∴S_△ABD=AD•BD=×6×8=24，

∵AD+AB+BD=AG+AE+（DG+BE）+BD=4+4+8+8=24，

∴r₁===2．