Question

（2010•煙臺(tái)）如圖以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交AC邊于點(diǎn)E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可求出OD∥AC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可證明DE⊥OD，進(jìn)而得證．
（2）過(guò)O作OF⊥BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義用OB表示出OF、CF的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．
解答：（1）證明：連接OD．
∵O為AB中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，
∴OD∥AC．
∵DE為⊙O的切線(xiàn)，
∴DE⊥OD．
∴DE⊥AC．

（2）解：過(guò)O作OF⊥BD，則BF=FD．
在Rt△BFO中，∠B=30°，
∴OF=OB，BF=OB．
∵BD=DC，BF=FD，
∴FC=3BF=OB．
在Rt△OFC中，
tan∠BCO====．
點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，綜合考查了三角形中位線(xiàn)定理及切線(xiàn)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性．