Question

如圖，若干個(gè)正三角形的一邊在同一條直線a上，這邊對(duì)的頂點(diǎn)也在同一條直線b上，它們的面積依次為S₁，S₂，S₃，S₄…若S₁=1，S₂=2，則S₆等于（　　）

• A、16
• B、24
• C、32
• D、不能確定

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：

分析：易證△ABF∽△BCG，則有

AF

BG

=

BF

CG

．易得△AEF∽△BFG∽△CGH，則有

S△AEF

S△BFG

=（

AF

BG

）²，

S△BFG

S△CGH

=（

BF

CG

）²，從而可得S₂²=S₁•S₃，同理S₃²=S₂•S₄，S₄²=S₃•S₅，S₅²=S₄•S₆，就可求出S₆，從而解決問(wèn)題．

解答：解：∵△AEF、△BFG、△CGH都是等邊三角形，
∴∠AFE=∠BGF=60°，∠BFG=∠CGH=60°，
∴AF∥BG，BF∥CG，
∴∠BAF=∠CBG，∠ABF=∠BCG，
∴△ABF∽△BCG，
∴

AF

BG

=

BF

CG

．
∵△AEF、△BFG、△CGH都是等邊三角形，
∴△AEF∽△BFG∽△CGH，
∴

S△AEF

S△BFG

=（

AF

BG

）²，

S△BFG

S△CGH

=（

BF

CG

）²，
∴

S△AEF

S△BFG

=

S△BFG

S△CGH

，
∴

S1

S2

=

S2

S3

，
∴S₂²=S₁•S₃．
∵S₁=1，S₂=2，
∴S₃=4．
同理S₃²=S₂•S₄，則有S₄=8；
S₄²=S₃•S₅，則有S₅=16；
S₅²=S₄•S₆，則有S₆=32．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決本題的關(guān)鍵．