Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， BD⊥AC，垂足為D，過點D作DE⊥DF，交AB于點E，交BC于點F．

（1）求證：△DBE≌△DCF；

（2）連接EF，若AE=4，FC=3；求

①EF的長；

②四邊形BFDE的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①5；②12

【解析】

（1）根據(jù)的等腰直角三角形的性質(zhì)以及“ASA”證明△BED≌△CFD即可；

（2）①根據(jù)全等得出AE=BF、BE=CF，由AE=BF，FC=BE就可以求得EF的長；

②根據(jù)勾股定理求出DE、DF長，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

（1）證明：∵D是AC中點，

∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC，

∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，

∴∠EDB=∠CDF，

在△BED和△CFD中，

∵，

∴△BED≌△CFD；

（2）解：①∵△BED≌△CFD，

∴BE=CF=3；

同理可證：△AED≌△BFD，

∴AE=BF=4，

∵AB=BC，BE=CF=3，

∴AE=BF=4，

在Rt△BEF中，EF==5；

②∵△BED≌△CFD，

∴DE=DF，

∵∠EDF=90°，EF=5，

∴2DE2=52，

∴DE=DF=，

∵BE=3，BF=4，∠ABC=90°，

∴四邊形BFDE的面積S=S△EBF+S△EDF=××=6+=12．