Question

已知如圖，直線y=-

3

x+4與x軸相交于點(diǎn)A，與直線y=

3

3

x相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求S_△OPA的值；
（3）動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著O→P→A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)（E不與點(diǎn)O、A重合），過(guò)點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，F(xiàn)的坐標(biāo)為（a，0），矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．求：S與a之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）聯(lián)立兩直線解析式，求出交點(diǎn)P坐標(biāo)即可；
（2）由A的坐標(biāo)確定出OA的長(zhǎng)，由OA乘以P縱坐標(biāo)求出三角形AOP面積即可；
（3）由F坐標(biāo)確定出OF的長(zhǎng)，得到E的橫坐標(biāo)為a，代入直線OP解析式表示出E縱坐標(biāo)，即為EF的長(zhǎng)，分三種情況考慮：當(dāng)0＜a≤

3

時(shí)，矩形EBOF與三角形OPA重疊部分為直角三角形OEF，表示出三角形OEF面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)

3

＜a≤

4 3

3

時(shí)，重合部分為直角三角形與梯形面積之和，求出S與a函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)a＞

4 3

3

時(shí)，重合面積為三角形OPA面積，求出S與a函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）聯(lián)立得：

y=- 3 x+4 y= 3 3 x

，
消去y得：-

3

x+4=

3

3

x，即x=

3

，
將x=

3

代入得：y=1，
則P坐標(biāo)為（

3

，1）；
（2）由直線y=-

3

x+4，令y=0，得到x=

4 3

3

，即A（

4 3

3

，0），
則S_△OPA=

1

2

OA•P_{縱坐標(biāo)}=

1

2

×

4 3

3

×1=

2 3

3

；
（3）分三種情況考慮：
當(dāng)0＜a≤

3

時(shí)，由F坐標(biāo)為（a，0），得到OF=a，
把E橫坐標(biāo)為a，代入y=

3

3

x，得：y=

3

3

a，即EF=

3

3

a，
此時(shí)S=

1

2

OF•EF=

3

6

a²（0＜a≤

3

）；
當(dāng)

3

＜a≤

4 3

3

時(shí)，S=

1

2

×1×

3

+

1

2

（a-

3

）（

3

3

a+1）=

3

2

+

1

2

（

3

3

a²+a-a-

3

）=

3

6

a²（

3

＜a≤

4 3

3

）；
當(dāng)a＞

4 3

3

時(shí)，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S=S_△OPA=

1

2

OA•P_{縱坐標(biāo)}=

1

2

×

4 3

3

×1=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論的思想，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．