Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，P是AB邊上的一點(diǎn)（不與A，B重合），PE平分∠APC交射線AD于E，過E作EM⊥PE交直線CP于M，交直線CD于N．

（1）求證：CM=CN；
（2）若AB：BC=4：3，
①當(dāng) =時(shí)，E恰好是AD的中點(diǎn)；
②如圖2，當(dāng)△PEM與△PBC相似時(shí)，求 E N E M 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長PE交CD的延長線于F，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠A=∠ADC=∠EDF═90°，AB=CD，AD=BC，

∴∠APE+∠AEP=90°，

∴∠F=∠APE，

∵EM⊥EN，

∴∠PEN=∠FEN=90°，

∴∠CPE+∠PME=90°，∠F+∠N=90°，

∵PE平分∠APC，

∴∠APE=∠MPE，

又∵∠PME=∠CMN，

∴∠CMN=∠N，

∴CM=CN

（2）[",解：分兩種情況：①若△PEM∽△CCBP,則∠EPM=∠BCP,∴PE∥BC,不成立；②若△PEM∽△PBC,則∠APB=∠EPM=∠BPC=60°,設(shè)AB=4a,BC=AD=3a,則PB= a,AP=（4﹣ ）a,AE=（4 ﹣3）a,設(shè)PE與CD交于點(diǎn)F,如圖3所示：∵AB∥CD,∴∠EFN=∠BFC=∠APE=60°,∴∠N=∠M=90°﹣60°=30°,∵EM⊥PE,∴∠NEF=∠PEM=90°,∴△PEM∽△FEN,∴ ,∵AB∥CD,∴ ,∴ = = 【解析】（2）解：①若E是AD的中點(diǎn)，則M、N、C三點(diǎn)重合，

∵E為AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

在△APE和△DFE中， ，

∴△APE≌△DFE（ASA），

∴AP=DF，PE=FE，

∵EM⊥EN，

∴PC=FC，

∵FC=CD+DF，

∴AP+CD=PC，

設(shè)AD=3a，AB=4a，

過P作PF⊥CD于F，如圖2所示：

設(shè)AP=DE=x，則PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，

由勾股定理得：（4﹣x）2+32=（4+x）2，

解得：x= a，4﹣x= a，

∴ ；

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用角的平分線判定和對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，掌握可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)(交于一點(diǎn))；兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)即可以解答此題．