【題目】已知如圖拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)、B(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)

(1)請直接寫出拋物線的解析式.
(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得△ACP的周長最短,若存在,請直接寫出點P的坐標.
(3)點G的坐標是(2,﹣3),點F是x軸上一點,拋物線上是否存在點R,使得以A,G,F(xiàn),R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點R的坐標.
(4)在B、C連線的下方拋物線上是否存在一點Q,使得△QBC的面積是△ABC的面積的一半?若存在,求出點Q的坐標.
(5)拋物線的頂點設為D,對稱軸與y軸的交點為E,M(m,0)是x軸上一動點,點N是線段DE上的一點,若∠MNC=90°,請直接寫出實數(shù)m的變化范圍.

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)、B(3,0),

∴y=a(x+1)(x﹣3),

把點C(0,﹣3)代入y=a(x+1)(x﹣3)得,a=1,

∴拋物線的解析式為;y=x2﹣2x﹣3


(2)解:存在,如圖1

,

連接BC交對稱軸于P,

則PA+PC=BC最短,

即△ACP的周長最短,

設直線BC的解析式為:y=kx+b,

,解得: ,

∴直線BC的解析式為:y=x﹣3,

∵拋物線的對稱軸是直線x=1,

把x=1代入y=x﹣3,

得y=﹣2,

∴P(1,﹣2)


(3)解:存在點R,使得以A,G,F(xiàn),R為頂點的四邊形是平行四邊形,

①平行四邊形ARGF時,RG∥AF,yR=yG=﹣3,

當y=﹣3時,x2﹣2x﹣3=﹣3,解得x1=0,x2=2(舍)

點R1(0,﹣3);

②平行四邊形AGFR時,yR+yG=0,即yR=3,當y=3時,x2﹣2x﹣3=3,解得x1=1﹣ ,x2=1+

R2(1﹣ ,3 ),R3(1+ ,3),

綜上所述:存在,點R的坐標(0,﹣3),(1﹣ ,3 ),(1+ ,3)


(4)解:如圖2

,

連BC,直線BC解析式為y=x﹣3,△ABC面積可求得6.

△ABC與△QBC同底,

則底BC上的高應為 ,

過點C,作CQ⊥BC,則CQ= ,再過Q作QH⊥y軸與H,

由Rt△CHQ∽△COB,得Q(1,﹣4),過Q作直線QL∥BC,

直線QL解析式可求得y=x﹣5,

聯(lián)立方程組,得

解得 , ,

所以在BC連線下方的拋物線上存在這點Q1(1,﹣4)Q2(2,﹣3)使得△QBC是△ABC面積的一半


(5)解:如圖3

①作∠MNC=90°,過點C做CF⊥DE,則△CFN∽△NEM,得

設NE=n,M(m,0),D(1,﹣4),C(0,﹣3),

則CF=1,NE=n,F(xiàn)N=3﹣n,ME=1﹣m,

代入比例式,得

一元二次方程n2﹣3n+(1﹣m)=0 關于n的一元二次方程有解,

則m≥﹣

②當點N移動到點D時,△CNF是等腰直角三角形,與△ENM仍然相似,

所以EM=EN=4,

所以此時m=5,

綜上可知 m的范圍是﹣ ≤m≤5


【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得答案;(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì),可得A、B關于對稱軸對稱,根據(jù)線段的性質(zhì)可得答案;(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得答案;(4)根據(jù)面積可得CQ的長度,根據(jù)平行線的性質(zhì),可得QL,根據(jù)解方程組可得答案;(5)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得關于n的方程,根據(jù)方程跟的判別式可得答案,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的性質(zhì)的相關知識,掌握兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,以及對平行四邊形的性質(zhì)的理解,了解平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

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