Question

如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A，B，且12a+5c=0．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)取得最小值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，P、Q點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，拋物線上是否還存在其它點(diǎn)R，使得以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將它們代入拋物線的解析式中，聯(lián)立12a+5c=0，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）首先用t表示出PB、BQ的長(zhǎng)，利用勾股定理可求得PQ₂的表達(dá)式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可得到PQ₂的最小值（即PQ的最小值）及對(duì)應(yīng)的t值，進(jìn)而可得到P、Q的坐標(biāo)，然后分兩種情況考慮：
①PR與BQ平行且相等，那么將P點(diǎn)坐標(biāo)向上或向下平移BQ個(gè)單位，即可得到R的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可；
②QR與BP平行且相等，那么將Q點(diǎn)坐標(biāo)向左或向右平移BP個(gè)單位即可得到R點(diǎn)坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）此題的解法同（2），將P、Q的坐標(biāo)用t表示，然后按（2）題的兩種情況得到各自的R點(diǎn)坐標(biāo)，然后再代入拋物線中進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）由題A（0，-2），B（2，-2）；
∴

c=-2 4a+2b+c=-2 12a+5c=0

∴

a= 5 6 b=- 5 3 c=-2

∴y=

5

6

x2-

5

3

x-2．（4分）

（2）由題AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²
=5t²-8t+4
=5(t-

4

5

)2+

4

5

；
當(dāng)t=

4

5

時(shí)，PQ²取得最小值，
則PQ最小，此時(shí)P(

8

5

，-2)，Q(2，-

6

5

)；
假設(shè)符合條件的點(diǎn)R存在，
①過(guò)P作PR∥BQ，PR=BQ；
此時(shí)R（

8

5

，-

14

5

）或(

8

5

，-

6

5

)，
將其代入拋物線解析式，
知這兩個(gè)點(diǎn)R均不在拋物線上；
②過(guò)Q作QR∥BP，QR=BP，
此時(shí)R（

12

5

，-

6

5

）或(

8

5

，-

6

5

)將其代入拋物線解析式，
知點(diǎn)（

12

5

，-

6

5

）在拋物線上，點(diǎn)(

8

5

，-

6

5

)不在拋物線上，
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)R（

12

5

，-

6

5

）．（8分）

（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于點(diǎn)R在拋物線上，
∴若存在以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的平行四邊形，只能有兩種情況，
①平行四邊形PRBQ此時(shí)PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
將其代入拋物線解析式得：

5

6

•(2t)2-

5

3

•2t-2=-2-t，
10t²-7t=-0，
t1=0(舍去)t2=

7

10

；
此時(shí)R(

7

5

，-

27

10

)；
②PQRB，此時(shí)QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
將其代入拋物線解析式，

5

6

(4-2t)2-

5

3

(4-2t)-2=t-2；
10t²-33t+20=0，
∴t₁=2.5（舍去），t₂=0.8，
此時(shí)R（

12

5

，-

6

5

）；
綜上所述，除（2）中的點(diǎn)R外，還存在點(diǎn)R(

7

5

，-

27

10

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義等知識(shí)，在涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一定要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，以免漏解．