【題目】如圖1,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD,E是邊BC上的一動點(diǎn),連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F,連結(jié)BF.
(1)求證:FB=FD;
(2)如圖2,連結(jié)CD,點(diǎn)H在線段BE上(不含端點(diǎn)),且BH=CE,連結(jié)AH交BF于點(diǎn)N.
①判斷AH與BF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
②連接CN.若AB=2,請直接寫出線段CN長度的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)①AH⊥BF,見解析;②.
【解析】
(1)證明△FAD≌△FAB(SAS)即可解決問題.
(2)①首先證明四邊形ABCD是正方形,再證明∠BAH=∠CBF即可解決問題.
②如圖3中,取AB的中點(diǎn)O,連接ON,OC.理由三角形的三邊關(guān)系解決問題即可.
(1)證明:如圖1中,
∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD,
∴∠BAD=90°,BA=AD,
∴∠FAD=∠FAB=45°,
∵AF=AF,
∴△FAD≌△FAB(SAS),
∴BF=DF.
(2)①解:結(jié)論:AH⊥BF.
理由:如圖2中,連接CD.
∵∠ABC+∠BAD=180°,
∴AD∥BC,
∵AD=AB=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵∠ABC=90°,
∴四邊形ABCD是矩形,
∵AB=BC,
∴四邊形ABCD是正方形,
∵BA=CD,∠ABH=∠DCE,BH=CE,
∴△ABH≌△DCE(SAS),
∴∠BAH=∠CDE,
∵∠FCD=∠FCB=45°,CF=CF,CD=CB,
∴△CFD≌△CFB(SAS),
∴∠CDF=∠CBF,
∴∠BAH=∠CBF,
∵∠CBF+∠ABF=90°,
∴∠BAH+∠ABF=90°,
∴∠ANB=90°,
∴AH⊥BF.
②如圖3中,取AB的中點(diǎn)O,連接ON,OC.
∵∠ANB=90°,AO=OB,
∴ON=AB=1,
在Rt△OBC中,OC=,
∵CN≥OC-ON,
∴CN≥-1,
∴CN的最小值為-1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某游樂場部分平面圖如圖所示,C,E,A在同一直線上,D,E,B在同一直線上,測得A處與E處的距離為80 m,C處與D處的距離為34 m,∠C=90°,∠ABE=90°,∠BAE=30°.( ≈1.4, ≈1.7)
(1)求旋轉(zhuǎn)木馬E處到出口B處的距離;
(2)求海洋球D處到出口B處的距離(結(jié)果保留整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,科技小組準(zhǔn)備用材料圍建一個(gè)面積為60m2的矩形科技園ABCD,其中一邊AB靠墻,墻長為12m,設(shè)AD的長為m,DC的長為m。
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)實(shí)際情況,對于(1)式中的函數(shù)自變量能否取值為4m,若能,求出的值,若不能,請說明理由;
(3)若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m,材料AD和DC的長都是整米數(shù),求出滿足條件的所有圍建方案。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸的交點(diǎn)為,
(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若,
①求拋物線的解析式;
②)已知點(diǎn),,將拋物線在的部分向上平移個(gè)單位得到圖象,若圖象與線段恰有個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A(a,0)和B(b,0),交y軸于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,下列四個(gè)判斷:①當(dāng)x>0時(shí),y>0;②若a=-1,則b=3;③拋物線上有兩點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,則y1>y2;④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為E,點(diǎn)G、F分別在x軸和y軸上,當(dāng)m=2時(shí),四邊形EDGF周長的最小值為,其中,判斷正確的序號是( )
A.①②B.②③C.①③D.②③④
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【題目】如圖,AB,AC是⊙O的弦,過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F,交CE于點(diǎn)G,連接BE。
(1)求證:BE=BG;
(2)過點(diǎn)B作BH⊥AB交⊙O于點(diǎn)H,若BE的長等于半徑,BH=4,AC=,求CE的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,整理出某種商品在第天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如下表:
觀察表格:根據(jù)表格解答下列問題:
0 | 1 | 2 | |
1 | |||
-3 | -3 |
(1)__________._____________.___________.
(2)在下圖的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象,直接寫出當(dāng)取什么實(shí)數(shù)時(shí),不等式成立;
(3)該圖象與軸兩交點(diǎn)從左到右依次分別為、,與軸交點(diǎn)為,求過這三個(gè)點(diǎn)的外接圓的半徑.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的中點(diǎn)為O,點(diǎn)G,H在對角線AC上,AG=CH,直線GH繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角,與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合).
(1)求證:四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)若∠α=90°,AB=9,AD=3,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C,與一次函數(shù)交于點(diǎn)A和點(diǎn)D.
1.求出的值;
2.若直線AD上方的拋物線存在點(diǎn)E,可使得△EAD面積最大,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
3.點(diǎn)F為線段AD上的一個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)F到(2)中的點(diǎn)E的距離與到y軸的距離之和記為d,求d的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).
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