Question

【題目】如圖，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A（-1,0），與y軸交于點(diǎn)C，與一次函數(shù)交于點(diǎn)A和點(diǎn)D.

1.求出的值；

2.若直線AD上方的拋物線存在點(diǎn)E，可使得△EAD面積最大，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

3.點(diǎn)F為線段AD上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)F到（2）中的點(diǎn)E的距離與到y軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時點(diǎn)F的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）a=1；b=3；c=4. （2）當(dāng)m=1時，最大值為6，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,6）（3）d的最小值為5,F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）.

【解析】

（1）根據(jù)圖形可以看出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），代入二次函數(shù)的解析式中，即可得出b、c的值,將點(diǎn)A（－1，0）代入一次函數(shù)中，即可求得a的值；
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則可得出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m2+3m+4．過點(diǎn)E作x軸的垂線l，交x軸于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，m+1）．過點(diǎn)D作l的垂線，垂足為T；聯(lián)立直線方程和二次函數(shù)方程，即可得出D的坐標(biāo)，再根據(jù)S△AED=S△AEH+S△HED，得出含m的函數(shù)，利用a的取值范圍，可知，當(dāng)m=1時，即可得出最大值，從而可得出E的坐標(biāo)；
（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點(diǎn)M，過F作FN⊥x軸于N，結(jié)合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知當(dāng)N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)C（0，4），B（4，0）在函數(shù)的圖象上，

∴

解得：b=3,c=4,

∵點(diǎn)A（－1，0）在一次一次函數(shù)y=x+a上，

∴0＝-1+a,

∴a=1.

所以a=1,b=3,c=4.

（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為.過點(diǎn)E作x軸的垂線l，交x軸于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為.過點(diǎn)D作l的垂線，垂足為T.

將與聯(lián)立組成方程組，解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,4）.

所以

∵a=＜0，

∴有最大值.當(dāng)m=1時，最大值為6，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,6）

（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點(diǎn)M，過F作FN⊥x軸于N,如圖所示：

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,4），點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0）

∴∠DAB=45°

∴AD平分∠SAB，

∴FM="FN"

∴d =FE+FM-1=FE+FN-1

顯然，當(dāng)N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，最小值為6-1=5.

此時點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，代入得F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）.