【題目】 問題發(fā)現(xiàn):如圖(1)在RtABCRtBDE中,∠A=DEB=30°,BC=BE=6RtBDE繞點B逆時針旋轉,HCD的中點,當點C與點E重臺時,BHAE的位置關系為______,BHAE的數(shù)量關系為______

問題證明:在RtBDE繞點B旋轉的過程中,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請就圖(2)的情形給出證明若不成立,請說明理由;

拓展應用:在RtBDE繞點B旋轉的過程中,當DEBC時,請直接寫出BH2的長.

【答案】問題發(fā)現(xiàn):AEBH,AE=2BH;問題證明:(1)中結論成立,證明詳見解析;拓展應用:12+312-3

【解析】

問題發(fā)現(xiàn):如圖1中,結論:AE=2BHAEBH.解直角三角形求出ACBH即可判斷.

問題證明:如圖2中,(1)中結論成立.延長BHF使得HF=BH,連接CF.設AEBFO.證明ABE∽△BCF即可解決問題.

拓展應用:分兩種情形:①如圖3-1中,當DEBC的下方時,延長ABDEF.②當DEBC的上方時,利用上面結論求出AE2即可解決問題.

解:問題發(fā)現(xiàn):如圖1中,結論:AE=2BHAEBH

理由:在RtABC中,∵BC=6,∠A=30°,

AE=2BC=12,

RtCDB中,∵∠DCB=30°,

CD==4,

CH=DH,

BH=CD=2

==2,

AE=2BH

故答案為AEBHAE=2BH

問題證明:如圖2中,(1)中結論成立.

理由:延長BHF使得HF=BH,連接CF.設AEBFO

CH=DH,BH=HF,∠CHF=BHD,

∴△CHF≌△DHBSAS),

BD=CF,∠F=DBH

CFBD,

AB=BC,BE=BD

BE=CF,

==,

CFBD

∴∠BCF+CBD=180°,

∵∠ABC+DBE=ABD+CBD+CBD+CBE=CBD+ABE=180°

∴∠BCF=ABE,

∴△ABE∽△BCF

∴∠CBF=BAE,==,

AE=BF=2BH,

∵∠CBF+ABF=90°,

∴∠ABF+BAE=90°

∴∠AOB=90°

BHAE

拓展應用:如圖3-1中,當DEBC的下方時,延長ABDEF

DEBC

∴∠ABC=BFD=90°,

由題意BC=BE=6AB=6,BD=2,DE=4,

BDBE=DEBF

BF==3,

EF=BF=3,

AF=6+3,

AE2=AF2+EF2=6+32+32=144+36

AE=2BH

AE2=12BH2,

BH2=12+3

如圖3-2中,當DEBC的上方時,同法可得AF=6-3,EF=3,

BH2===12-3

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