【題目】如圖1所示,以點(diǎn)M(1,0)為圓心的圓與y軸,x軸分別交于點(diǎn)A,B,C,D,與⊙M相切于點(diǎn)H的直線EF交x軸于點(diǎn)E(,0),交y軸于點(diǎn)F(0,).
(1)求⊙M的半徑r;
(2)如圖2所示,連接CH,弦HQ交x軸于點(diǎn)P,若cos∠QHC=,求的值;
(3)如圖3所示,點(diǎn)P為⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PE,PF,求PF+PE的最小值.
【答案】(1)r=2;(2)=;(3).
【解析】
(1)連接MH,根據(jù)點(diǎn)E(,0)和點(diǎn)F(0,),求出的值,再通過(guò)證明△EMH∽△EFO,得到,即可解出r的值;
(2)連接DQ、CQ,由cos∠QDC =cos∠QHC =,可得,由(1)可知,r=2,故CD=4,由DQ=3,CH是RT△EHM斜邊上的中線,得到CH=EM=2.再通過(guò)證明△CHP∽△QDP,即可得到;
(3)取CM的中點(diǎn)N,連接PM、PN,由OM=1,OE=5,可得ME=4,進(jìn)而得到,
通過(guò)證明△PMN∽△EMP,可得,即,所以當(dāng)F、P、N三點(diǎn)共線時(shí),PF+PE的最小值為FN的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理可求的PF+PE的最小值.
(1)如圖,連接MH,
∵點(diǎn)E(,0)和點(diǎn)F(0,),
∴OE=5,OF=,
∴,
∵M(-1,0),
∴OM=1,
∴EM=OE-OM=4,
∵∠E=∠E,∠AOE=∠EHM,
∴△EMH∽△EFO,
∴,
即,
∴r=2;
(2) 如圖,連接DQ、CQ.
∵CD為直徑,∴∠CQD=90°,
∵∠QHC=∠QDC,
∴cos∠QDC =cos∠QHC =,
∴,
由(1)可知,r=2,故CD=4,
∴DQ=3,
∵CH是RT△EHM斜邊上的中線,
∴CH=EM=2.
∵∠CHP=∠QDP,∠CPH=∠QPD,
∴△CHP∽△QDP,
∴;
(3)如圖,取CM的中點(diǎn)N,連接PM、PN,
∵OM=1,OE=5,
∴ME=4,
∴,
又∵∠PMN=∠EMP,
∴△PMN∽△EMP,
∴,
∴,
當(dāng)F、P、N三點(diǎn)共線時(shí),PF+PE的最小值為FN的長(zhǎng),
∴點(diǎn)N為CM的中點(diǎn),
∴ON=2,
∴,
∴PF+PE的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是矩形,點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)(不與、 重合),連接,過(guò)點(diǎn)作,交射線于點(diǎn),已知,.設(shè)的長(zhǎng)為.
(1) ;當(dāng)時(shí), ;
(2)①試探究:否是定值?若是,請(qǐng)求出這個(gè)值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②連接,設(shè)的面積為,求的最小值.
(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí).請(qǐng)求出的值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把菱形ABCD沿AH折疊,B落在BC上的點(diǎn)E處,若∠BAE=40°,則∠EDC的大小為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和小亮玩一個(gè)游戲:三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4(背面完全相同),現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下.小明從中任意抽取一張,記下數(shù)字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和.若和為奇數(shù),則小明勝;若和為偶數(shù),則小亮勝.
(1)請(qǐng)你用畫樹(shù)狀圖或列表的方法,求出這兩數(shù)和為6的概率.
(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線ED相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AB=8,AC=4,則CF的長(zhǎng)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G為AD的中點(diǎn),連接CG,CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FD.
(1)求證:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)如圖,已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線,切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過(guò)圓心O并與圓相交于點(diǎn)D、C,過(guò)C作直線CE丄AB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是上(除點(diǎn)外)一點(diǎn),以為邊作等邊,與交于兩點(diǎn).記的長(zhǎng)為,點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)到的距離為:
小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì),,的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.
下面是小騰的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)對(duì)于點(diǎn)在上的不同位置,畫圖、測(cè)量,得到了,,的長(zhǎng)度幾組值,如下表:
在,,的長(zhǎng)度這三個(gè)量中,確定 是自變量, 和 都是這個(gè)自變量的函數(shù);
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖像;
(3)結(jié)合函數(shù)圖像,解決問(wèn)題:當(dāng)點(diǎn)在平分線上時(shí),的長(zhǎng)約為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形△ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,∠BAC=90°,連接PA,PB,PC,若AC=6,AB=8,求PA+PB+PC的最小值_____.
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