Question

如圖，邊長為4的正方形AOCD的頂點A、C分別在y軸和x軸上，點P的坐標(biāo)為（2，0），以點P為圓心，OP的長為半徑向正方形內(nèi)部作一半圓，交線段DF于點F，線段DF的延長線交y軸于點E，DF=DC
（1）求證：DF是半圓P的切線；
（2）求線段DF所在直線的解析式；
（3）求點F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先利用SSS，得出△PDF≌△PDC，即可得出答案；
（2）由題意得：在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，進(jìn)而得出E點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（3）由題意可得出：△EGF∽△EAD，則

EG

EA

=

GF

AD

=

EF

ED

，進(jìn)而得出GF和OG的長，進(jìn)而得出F點坐標(biāo)．

解答：（1）證明：連接PD、PF．
∵正方形AOCD的邊長為4，而P的坐標(biāo)為（2，0），
∴OP=2，即P為BC的中點，有PF=PC，
在△PDF和△PDC中

DF=DC PD=PD PF=PC

∴△PDF≌△PDC（SSS），
得∠PFD=∠PCD，而∠PCD=90°，
∴∠PFD=90°，故DF是半圓P的切線．

（2）解：據(jù)題意，顯然有EO切圓P于點O，
而EF切圓P于點F，則有EO=EF．
若設(shè)EO=x，則EF=x，∴DE=x+4，AE=4-x，
因而在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，
∴（x+4）²=（4-x）²+4²，
解得x=1．
即E點坐標(biāo)為（0，1）．
又點D為（4，4），
設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，那么有

4=4k+b b=1

，
解得

k= 3 4 b=1

．
∴直線DF的解析式為y=

3

4

x+1．

（3）解：據(jù)（2）可得，AE=3，DE=5，EF=1．過點F作FG⊥AO于點G，由四邊形AOCD為正方形，
顯然有△EGF∽△EAD，
則

EG

EA

=

GF

AD

=

EF

ED

，
即

EG

3

=

GF

4

=

1

5

，
∴EG=

3

5

，GF=

4

5

．
∴OG=OE+EG=1+

3

5

=

8

5

．
故點F的坐標(biāo)為(

4

5

，

8

5

)．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線得出相似圖形是解題關(guān)鍵．