Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（-4，0），B（-1，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限的拋物線上有一動點D．
①如圖（1），若四邊形ODAE是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，當平行四邊形ODAE的面積為6時，請判斷平行四邊形ODAE是否為菱形？說明理由．
②如圖（2），直線y=

1

2

x+3與拋物線交于點Q、C兩點，過點D作直線DF⊥x軸于點H，交QC于點F．請問是否存在這樣的點D，使點D到直線CQ的距離與點C到直線DF的距離之比為

5

：2？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）①本問需結(jié)合菱形、平行四邊形的性質(zhì)來進行分析．如答圖2-1，作輔助線，求出點D的坐標，進而判斷平行四邊形ODAE是否為菱形；
②本問為存在型問題．如答圖2-2，作輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得點D的坐標．

解答：解：（1）把點A（-4，0）、B（-1，0）代入解析式y(tǒng)=ax²+bx+3，
得

16a-4b+3=0 a-b+3=0

，解得

a= 3 4 b= 15 4

，
∴拋物線的解析式為：y=

3

4

x²+

15

4

x+3．

（2）①如答圖2-1，過點D作DH⊥x軸于點H．

∵S_?ODAE=6，OA=4，
∴S_△AOD=

1

2

OA•DH=3，
∴DH=

3

2

．
因為D在第三象限，所以D的縱坐標為負，且D在拋物線上，
∴

3

4

x²+

15

4

x+3=-

3

2

，
解得：x₁=-2，x₂=-3．
∴點D坐標為（-2，-

3

2

）或（-3，-

3

2

）．
當點D為（-2，-

3

2

）時，DH垂直平分OA，平行四邊形ODAE為菱形；
當點D為（-3，-

3

2

）時，OD≠AD，平行四邊形ODAE不為菱形．
②假設(shè)存在．
如答圖2-2，過點D作DM⊥CQ于M，過點C作CN⊥DF于N，則DM：CN=

5

：2．

設(shè)D（m，

3

4

m²+

15

4

m+3）（m＜0），則F（m，

1

2

m+3）．
∴CN=-m，NF=-

1

2

m
∴CF=

CN2+NF2

=-

5

2

m．
∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，
∴△DMF∽△CNF，
∴

DF

CF

=

DM

CN

=

5

2

，
∴DF=

5

2

CF=-

5

4

m．
∴DN=NF+DF=-

1

2

m-

5

4

m=-

7

4

m．
又DN=3-（

3

4

m²+

15

4

m+3）=-

3

4

m²-

15

4

m，
∴-

3

4

m²-

15

4

m=-

7

4

m
解得：m=-

8

3

或m=0（舍去）
∴

3

4

m²+

15

4

m+3=-

5

3

∴D（-

8

3

，-

5

3

）．
綜上所述，存在滿足條件的點D，點D的坐標為（-

8

3

，-

5

3

）．

點評：本題為二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)、待定系數(shù)法、相似三角形、平行四邊形、菱形等知識點．第（2）問涉及存在型問題，有一定的難度．在解題過程中，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程思想等的應(yīng)用．