Question

△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD于D．
（1）求證：DM=

1

2

（AC-AB）；
（2）若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)BD交AC于E，證△BAD≌△EAD，推出AB=AE，BD=DE，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出DM=

1

2

CE即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，求出AE，根據(jù)三角形的中位線求出CE，即可得出答案．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中，

∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE

，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴AB=AE，BD=DE，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴DM=

1

2

CE=

1

2

（AC-AB）；

（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8，
∴由勾股定理得：AE=AB=

62+82

=10，
∵DM=2，DM=

1

2

CE，
∴CE=4，
∴AC=10+4=14．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△BAD≌△EAD，題目比較好，難度適中．