Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD邊的中點(diǎn)，P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），MN⊥PM交射線BC于N點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）如圖2，在點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)過程中，求證： 為定值；

（3）在射線AB上，是否存在點(diǎn)P，使得△DCN∽△PMN？若存在，求此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，

∵M(jìn)N⊥PM，

∴∠APM=90°﹣∠AMP=∠DMC，

∴△APM∽△DMC，

∴ = ，

∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，

∴MD=AM= AD=3，

∵CD=AB=4，

∴ = ，

∴AP=

（2）

解：證明：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖2，

延長(zhǎng)MN交DC的延長(zhǎng)線于G，

同（1）的方法得出，△APM∽△DMG，

∴ = ，

∴ = = ，

∴ + = + ，

∵AD∥CN，

∴∠CNG=∠DMG=∠APM，

∵∠PAM=∠NCG=90°，

∴△APM∽△CNG，

∴ ，

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ；

②當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

同①的方法得出，△APM∽△DMH，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

同①的方法得出，△APM∽△CNH，

∴ ，

∴ ，

∴ = ；

即： 是定值

（3）

解：存在點(diǎn)P，使得△DCN∽△PMN，

解：由（2）知 = ，△DCN∽△PMN時(shí)，

∴ = ，

∴ = ，

∴CN=4，

易得，△MDH∽△NCH，

∴ = . = ，

∵CD=AB=4，

∴DH= ，CH= ，

由（2）②知，△APM∽△MDH，

∴ = ，

∴ = ，

P=

【解析】（1）先判斷出∠APM=∠DMC即可得出△APM∽△DMC，即 = ，再求出AM=MD=3，CD=4代入即可；（2）分兩種情況①判斷出，△APM∽△DMG，和△APM∽△CNG用得出的比例式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；②同①的方法即可得出結(jié)論；（3）先求出CN，再用△MDH∽△NCH求出DH，CH，最后用△APM∽△MDH即可求出結(jié)論．