【題目】已知正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點(diǎn),連接AE,BF相交于點(diǎn)H,且AE⊥BF.
(1)如圖1,連接AC交BF于點(diǎn)G,求證:∠AGF=∠AEB+45°;
(2)如圖2,延長BF到點(diǎn)M,連接MC,若∠BMC=45°,求證:AH+BH=BM;
(3)如圖3,在(2)的條件下,若點(diǎn)H為BM的三等分點(diǎn),連接BD,DM,若HE=1,求△BDM的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)6.
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ACD=45°,根據(jù)余角 的性質(zhì)得到∠AEB=∠BFC,于是得到結(jié)論;
(2)過C作CK⊥BM于K,得到∠BKC=90°,推出四邊形ABCD是正方形,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,得到∠ABH=∠BCK,在△ABH根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)過E作EN⊥CK于N,得到四邊形HENK是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到HK=EN=BH,∠BHE=∠NEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HE=CN=NK=1,求得CK=BH=2,得到BM=6,連接CH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=DM=2,∠BHC=∠DMC=135°.求得∠DMB=90°,于是得到結(jié)論.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∵AE⊥BF,
∴∠AEB+∠FBC=90°,
∵∠FBC+∠BFC=90°,
∴∠AEB=∠BFC,
∵∠AGF=∠BFC+∠ACF,
∴∠AGF=∠AEB+45°.
(2)過C作CK⊥BM于K,
∴∠BKC=∠AHB=90°,
∵∠BMC=45°,
∴CK=MK,
∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ABH=∠BCK,
∴△ABH≌△BCK(AAS),
∴BH=CK=MK,AH=BK,∴BM=BK+MK=AH+BH.
(3)由(2)得,BH=CK=MK,∵H為BM的三等分點(diǎn),
∴BH=HK=KM,
過E作EN⊥CK于N,∴四邊形HENK是矩形,
∴HK=EN=BH,∠BHE=∠ENC,∴△BHE≌△ENC(ASA),
∴HE=CN=NK=1,∴CK=BH=2,
∴BM=6,
連接CH,
∵HK=MK,CK⊥MH,∠BMC=45°,∴CH=CM,∠MCH=90°,
∴∠BCH=∠DCM,∴△BHC≌△DMC(SAS),
∴BH=DM=2,∠BHC=∠DMC=135°,
∴∠DMB=90°,
∴△BDM的面積為DM·BM=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F,再分別以點(diǎn)B、F為圓心,大于長為半徑畫弧,兩弧交于一點(diǎn)P,連接AP并延長交BC于點(diǎn)E,連接EF.
(1)四邊形ABEF是_______;(選填矩形、菱形、正方形、無法確定)(直接填寫結(jié)果)
(2)AE,BF相交于點(diǎn)O,若四邊形ABEF的周長為40,BF=10,則AE的長為________,∠ABC=________°.(直接填寫結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,下列4個(gè)三角形中,均有AB=AC,則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是( )
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD=DE=EC,F是BC中點(diǎn),G是FC中點(diǎn),如果△ABC的面積是24平方厘米,則陰影部分面積是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】作出函數(shù)的圖象,并利用圖象回答問題:
(1)寫出圖象與軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)________,與軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)________.
(2)當(dāng)時(shí),的取值范圍是______________.
(3)有一點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3,4),順次連接點(diǎn)A、B、C得到△ABC,三角形ABC的面積為________.
(4)點(diǎn)C關(guān)于軸對稱的點(diǎn)D的坐標(biāo)
(5)連接B,D兩點(diǎn),求直線BD的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)中,小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖①位置放置,AD與AE在同一直線上,AB與AG在同一直線上.
⑴小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE,請你幫他說明理由.
⑵如圖②,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí),請你幫他求出此時(shí)BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在ΔABC中,AB>BC,AB=AC,DE是AB的垂直平分線,垂足為D點(diǎn),交AC于點(diǎn)E.
(1)若∠ABE=40°,求∠EBC的度數(shù);
(2)若ΔABC的周長為41cm,一邊為15cm,求ΔBCE的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(7分)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)0<x<3時(shí),求y的取值范圍;
(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),若S△PAB=10,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線開口向上且經(jīng)過點(diǎn),雙曲線經(jīng)過點(diǎn),給出下列結(jié)論:;;,c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根;其中正確結(jié)論是______填寫序號
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