Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，點(diǎn)F恰好是BC的中點(diǎn)，M為AF上一動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥AD于N，則BM+AN的最小值為____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD，由折疊的性質(zhì)得到AF=AD，∠FAE=∠DAE，求得∠BAF=30°，∠DAF=60°，得到∠BAF=∠FAE，過B作BG⊥AF交AE于G，則點(diǎn)B與點(diǎn)G關(guān)于AF對(duì)稱，過G作GH⊥AB于H交AF于M，則此時(shí)，BM+MH的值最小，推出△ABG是等邊三角形，得到AG=BG=AB=5，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD．

∵將△ADE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，

∴AF=AD，∠FAE=∠DAE．

∵點(diǎn)F恰好是BC的中點(diǎn)，

∴BF，

∴∠BAF=30°，

∴∠DAF=60°，

∴∠FAE，

∴∠BAF=∠FAE，

過B作BG⊥AF交AE于G，則點(diǎn)B與點(diǎn)G關(guān)于AF對(duì)稱，

過G作GH⊥AB于H交AF于M，

則此時(shí)，BM+MH的值最�。�

∵MN⊥AD，

∴四邊形AHMN是矩形，

∴AN=HM，

∴BM+MH=BM+AN=HG．

∵AB=AG，∠BAG=60°，

∴△ABG是等邊三角形，

∴AG=BG=AB=5，

∴，

∴HG，

∴BM+AN的最小值為．

故答案為：．