Question

八年級(jí)數(shù)學(xué)課上，曹老師出示了如下框中的題目．（本題8分）

小聰與同桌小明討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況·探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝” ）．

（2）特例啟發(fā)·解答題目

【解析】
題目中， AE與DB的大小關(guān)系是：AE_____DB（填“＞”，“＜”或“＝” ）．

理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，

（請(qǐng)你完成以下解答過程）

（3）拓展結(jié)論·設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC．

若△ABC的邊長為2，AE＝4，求CD的長（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．

 

Answer 1

（1）AE＝DB；（2）AE=DB證明△CEF≌△EDB；（3）CD的長2或6

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，過E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；（2）類似（1）過E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；（3）分點(diǎn)E在AB上和在BA的延長線上，類似（2）證得全等，再利用平行得到．

試題解析：1）如圖1，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F， ∵△ABC為等邊三角形，∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，∴∠EDB=∠FEC，在△BDE和△FEC中，∠EBD=∠EFC，∠EDB=∠FEC，ED=EC，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF， ∴AE=BD，故答案為：=；（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，∴∠EDB=∠FEC，在△BDE和△FEC中，EBD=∠EFC，∠EDB=∠FEC，ED=EC，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF，∴AE=BD，故答案為：=；（3）CD的長2或6．

考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)．