Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)，與y軸交于點(diǎn)A(0，5)，與x軸交于點(diǎn)E，B．

（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，線段PD最長(zhǎng)？并求出最大值；

（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上，使得以A，E，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）x＝時(shí)，PD的最大值為；（3）點(diǎn)M(3，8)或(1，8)．

【解析】

（1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，﹣x2+4x+5），建立PD的函數(shù)關(guān)系式，即可求解；

（3）方法1、先判斷出△HMN≌△AOE，求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

方法2、四邊形AENM是平行四邊形時(shí)，由于知道點(diǎn)E和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)E平移到點(diǎn)N時(shí)，先向右平移3單位，進(jìn)而判斷出點(diǎn)A到點(diǎn)M向右先平移3個(gè)單位，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)，判斷出點(diǎn)A再向上平移3個(gè)單位得出點(diǎn)M，即可求出點(diǎn)N坐標(biāo)；四邊形AEMN是平行四邊形時(shí)，同上方法即可得出結(jié)論

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+9，

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，5），

∴4a+9＝5，

∴a＝﹣1，

y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+4x+5＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m＝﹣1，n＝5，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5；

設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x，

x＝時(shí)，PD的最大值為：；

（3）方法1、如圖，

過(guò)M作MH垂直于對(duì)稱軸，垂足為H，

∵MN∥AE，MN＝AE，

∴△HMN≌△AOE，

∴HM＝OE＝1，

∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝3或x＝1，

當(dāng)x＝1時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，

當(dāng)x＝3時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），

∵A（0，5），E（﹣1，0），

∴直線AE解析式為y＝5x+5，

∵MN∥AE，

∴MN的解析式為y＝5x+b，

∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸x＝2上，

∴N（2，10+b），

∵AE2＝OA2+OE2＝26

∵MN＝AE

∴MN2＝AE2，

∴MN2＝（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2＝1+（b+2）2

∵M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），

∴點(diǎn)M1，M2關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，

∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，

∴M1N＝M2N，

∴1+（b+2）2＝26，

∴b＝3，或b＝﹣7，

∴10+b＝13或10+b＝3

∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，13），

當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．

方法2，如圖2，

∴E（﹣1，0），A（0，5），

∵拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+9，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，即：N'（2，0）

①當(dāng)以點(diǎn)A，E，M，N組成的平行四邊形為四邊形AENM時(shí)，

∵E（﹣1，0），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，（N'（2，0）

∴點(diǎn)E到點(diǎn)N向右平移2﹣（﹣1）＝3個(gè)單位，

∵四邊形AENM是平行四邊形，

∴點(diǎn)A向右也平移3個(gè)單位，

∵A（0，5），

∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，即：M'（3，5），

∵點(diǎn)M在拋物線上，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣（3﹣2）2+9＝8，

∴M（3，8），即：點(diǎn)A再向上平移（8﹣5＝3）個(gè)單位，

∴點(diǎn)N'再向上平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)N（2，3），

即：當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．

②當(dāng)以點(diǎn)A，E，M，N組成的平行四邊形為四邊形AEMN時(shí)，

同①的方法得出，當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，13）；

綜上，點(diǎn)M（3，8）或（1，8）．