Question

【題目】如圖1，AB為半圓O的直徑，半徑OP⊥AB，過劣弧AP上一點D作DC⊥AB于點C．連接DB，交OP于點E，∠DBA＝22.5°．

⑴ 若OC＝2，則AC的長為　　　　；

⑵ 試寫出AC與PE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶ 連接AD并延長，交OP的延長線于點G，設(shè)DC＝x，GP＝y，請求出x與y之間的等量關(guān)系式. （請先補(bǔ)全圖形，再解答）

Answer 1

【答案】⑴ ；⑵ 見解析；⑶ y=

【解析】

（1）如圖，連接OD，則有∠AOD=45°，所以△DOC為等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=2,故可求出AC的長；

（2）連接AD，DP，過點D作DF⊥OP，垂足為點F. 證AC=PF或AC=EF ，證DP=DE

證PF=EF=，故可證出PE=2AC ；

（3）首先求出，再求AB=,再證△DGE≌△DBA,得GE=AB=，由PE=2AC得PE=2，再根據(jù)GP=GE－PE可求結(jié)論.

（1）連接OD，如圖，

∵∠B=22.5°，

∴∠DOC=45°,

∵DC⊥AB

∴△DOC為等腰直角三角形，

∵OC=2，

∴OD=2,

∴AO=2，

∴AC=AO-OC=.

⑵ 連接AD，DP，過點D作DF⊥OP，垂足為點F.

∵OP⊥AB,

∴∠POD=∠DOC=45°，

∴AD=PD，

∵△DOC為等腰直角三角形，

∴DC=CO,

易證DF=CO，

∴DC=DF，

∴Rt△DAC≌Rt△DPF,

∴PF=AC,

∵DO=AO,∠DOA=45°

∴∠DAC=67.5°

∴∠DPE=67.5°,

∵OD=OB，∠B=22.5°，

∴∠ODE=22.5°

∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°

∴∠DEP=∠DPE

∴PF=EF=

∴PE=2AC

（3）如圖2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得

∴ AB=2OD=

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠EDG=90°，

由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC

∴△DGE≌△DBA

∴ GE=AB=

∵ PE=2AC

∴ PE=2

∴ GP=GE－PE=

即：y=