【題目】拋物線過(guò)點(diǎn),頂點(diǎn)為M點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使∠POM=90.若不存在,說(shuō)明理由;若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K,使∠OMK=90,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在.
【解析】
試題(1)將A(1,-3),B(3,-3),C(-1,5)三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中,列方程組求a、b、c的值,得出拋物線解析式;
(2)拋物線上存在一點(diǎn)P,使∠POM=90.設(shè)(a,a2-4a),過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸,垂足為E;過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸,垂足為F,利用互余關(guān)系證明Rt△OEP∽R(shí)t△MFO,利用相似比求a即可;
(3)拋物線上必存在一點(diǎn)K,使∠OMK=90.過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM,交y軸于點(diǎn)N,在Rt△OMN中,利用互余關(guān)系證明△OFM∽△MFN,利用相似比求N點(diǎn)坐標(biāo),再求直線MN解析式,將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立,可求K點(diǎn)坐標(biāo).
(1)根據(jù)題意,得
解得
∴ 拋物線的解析式為.
(2)拋物線上存在一點(diǎn)P,使∠POM=90.
x=,.
∴ 頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P,滿足OP⊥OM,其坐標(biāo)為.
過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸,垂足為E;過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸,垂足為F.
則 ∠POE+∠MOF=90,∠POE+∠EPO=90.
∴ ∠EPO=∠FOM.
∵ ∠OEP=∠MFO=90,
∴ Rt△OEP∽R(shí)t△MFO.
∴ OE∶MF=EP∶OF.
即.
解,得(舍去),.
∴ P點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(3)
過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM,交y軸于點(diǎn)N.則 ∠FMN+∠OMF=90.
∵ ∠MOF+∠OMF=90,
∴ ∠MOF=∠FMN.
又∵ ∠OFM=∠MFN=90,
∴ △OFM∽△MFN.
∴ OF∶MF=MF∶FN. 即 4∶2=2∶FN.∴ FN=1.
∴ 點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,-5).
設(shè)過(guò)點(diǎn)M,N的直線的解析式為.
解,得直線的解析式為.
∴把①代入②,得.
.
∴ 直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)(其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M).
∴ 拋物線上必存在一點(diǎn)K,使∠OMK=90.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,動(dòng)點(diǎn)O從邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā),沿著ACBA的路線勻速運(yùn)動(dòng)一周,速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒,以O為圓心、為半徑的圓在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與△ABC的邊第二次相切時(shí)是點(diǎn)O出發(fā)后第______秒.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB⊙O的直徑,∠ACB的平分線交⊙O于D,連接AD和BD,過(guò)點(diǎn)D作DP∥AB交CA的延長(zhǎng)線于P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)當(dāng)AC=6,BC=8時(shí),求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明坐于堤邊垂釣,如圖,河堤的坡角為,長(zhǎng)為米,釣竿的傾斜角是,其長(zhǎng)為米,若與釣魚(yú)線的夾角為,求浮漂與河堤下端之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,2),它的頂點(diǎn)為D(1,m),且.
(1)求m的值及拋物線的表達(dá)式;
(2)將此拋物線向上平移后與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且OA=OB.若點(diǎn)A是由原拋物線上的點(diǎn)E平移所得,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)(位于x軸上方),且∠APB=45°.求P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為[x].即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí),若n﹣≤x<n+,則[x]=n.如:[2.9]=3;[2.4]=2;……根據(jù)以上材料,解決下列問(wèn)題:
(1)填空[1.8]= ,[]= ;
(2)若[2x+1]=4,則x的取值范圍是 ;
(3)求滿足[x]=x﹣1的所有非負(fù)實(shí)數(shù)x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分8分)“2015揚(yáng)州鑒真國(guó)際半程馬拉松”的賽事共有三項(xiàng):A、“半程馬拉松”、B、“10公里”、C、“迷你馬拉松”。小明和小剛參加了該項(xiàng)賽事的志愿者服務(wù)工作,組委會(huì)隨機(jī)將志愿者分配到三個(gè)項(xiàng)目組
(1)小明被分配到“迷你馬拉松”項(xiàng)目組的概率為
(2)求小明和小剛被分配到不同項(xiàng)目組的概率
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把兩個(gè)全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起,使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合,其中∠B=∠F=30°,斜邊AB和EF長(zhǎng)均為4.
(1)當(dāng) EG⊥AC于點(diǎn)K,GF⊥BC于點(diǎn)H時(shí)(如圖①),求GH:GK的值.
(2) 現(xiàn)將三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α滿足條件:0°<α<30°(如圖②),EG交AC于點(diǎn)K ,GF交BC于點(diǎn)H,GH:GK的值是否改變?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(3)三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,是否存在某位置使△BFG是等腰三角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α(精確到0.1°);若不存在,說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,以OB為直徑畫(huà)圓M,過(guò)D作⊙M的切線,切點(diǎn)為N,分別交AC、BC于點(diǎn)E、F,已知AE=5,CE=3,則菱形ABCD的面積是( )
A. 24B. 20C. D.
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