Question

已知，在平面直角坐標(biāo)系中，AB是雙曲線y=

k

x

（k＞0），且在第一象限，AD⊥x軸，BC⊥x軸，∠AOB=∠COB=30°，點(diǎn)E是AD與BO的交點(diǎn)，ED=1，求k和S_△AOB．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：由x軸與y軸垂直，且∠AOB=∠COB=30°，得到∠AOF=∠COB=30°，利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到OA=OB，利用AAS得到三角形AOD與三角形BOC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=OC，OD=BC，在直角三角形OED中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)ED的長(zhǎng)求出OE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，即為BC的長(zhǎng)，在直角三角形AOD中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OA的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，即為OC的長(zhǎng)，由OC-OD求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出A的坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，利用反比例解析式中k的幾何意義得到三角形AOD與三角形BOC面積相等，三角形AOB面積=三角形AOD面積+梯形ABCD面積-三角形BOC面積=梯形ABCD面積，求出即可．

解答：解：∵∠FOC=90°，∠AOB=∠BOC=30°，
∴∠AOF=30°，∠AOD=∠OBC=60°，
由對(duì)稱(chēng)性得到OA=OB，
在△AOD和△OBC中，

∠ADO=∠OCB=90° ∠AOD=∠OBC OA=OB

，
∴△AOD≌△OBC（AAS），
∴AD=OC，OD=BC，
在Rt△OED中，ED=1，∠EOD=30°，
∴OE=2，根據(jù)勾股定理得：OD=

22-12

=

3

，
在Rt△AOD中，∠OAD=30°，OD=

3

，
∴OA=2

3

，根據(jù)勾股定理得：AD=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴A（

3

，3），即AD=OC=3，OD=BC=

3

，CD=OC-OD=3-

3

，
代入反比例解析式得：k=3

3

，
∴反比例解析式為y=

3 3

x

，
由反比例函數(shù)k的意義得到S_△AOD=S_△BOC=

3 3

2

，
則S_△AOB=S_△AOD+S_梯形ABCD-S_△BOC=S_梯形ABCD=

1

2

CD（BC+AD）=

1

2

×（3-

3

）×（

3

+3）=3．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，以及反比例函數(shù)k的幾何意義，利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到OA=OB是本題的突破點(diǎn)．