Question

如圖①，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．
（1）求證：PE+PF=CH．
（2）如圖②，P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
（3）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF．當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=

 

，點(diǎn)P到AB邊的距離PE=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）連接AP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=

1

2

×AC×（PE+PF），同時(shí)可表示出S_△ABC=

1

2

AC×BH，從而可得到PE+PF=BH．
（2）連接AP．先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出S_△ABP，S_△ACP，S_△ABC，再由S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC即可得出PE=PF+PH；
（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CH，再由△ABC的面積為49，求出CH=7，由于CH＞PF，則可分兩種情況進(jìn)行討論：①P為底邊BC上一點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E+PF=CH；②P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E=PF+CH．

解答：解：（1）如圖①，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PE，S_△ACP=

1

2

AC•PF，S_△ABC=

1

2

AB•CH．
又∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=

1

2

AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．

（2）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PE，S_△ACP=

1

2

AC•PF，S_△ABC=

1

2

AB•CH，
∵S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC，
∴

1

2

AB•PE=

1

2

AC•PF+

1

2

AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（3）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵S_△ABC=

1

2

AB•CH，AB=AC，
∴

1

2

×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分兩種情況：
①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，如圖②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案為：7；4或10．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形面積的綜合運(yùn)用，此題的關(guān)鍵是利用面積公式將所求聯(lián)系在一起．難度適中，運(yùn)用面積證明可使問題簡便，（3）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．