Question

如圖，拋物線y=

3

18

x²-

13 3

18

x+2

3

與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，△ACD為等邊三角形，以DC為半徑的⊙D與y軸的另一交點(diǎn)為E．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求△CDE的面積；
（3）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)．若以P、Q、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)y=0，則函數(shù)變?yōu)橐辉�二次方程，解方程即可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AE，作DF⊥CE于點(diǎn)F．則CF=

1

2

CE．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AE，OE，CF的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）分兩種情況考慮，Q在第一象限，以及第四象限，利用平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出Q坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，0=

3

18

x2-

13 3

18

x+2

3

，
整理得，x²-13x+36=0，
解得x₁=4，x₂=9，
∴A（4，0）、B（9，0）；   
                               
（2）連結(jié)AE，作DF⊥CE于點(diǎn)F．則CF=

1

2

CE．
當(dāng)x=0時(shí)，y=2

3

，
∴C（0，2

3

），
∴OC=2

3

．
∵OA=4，
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

16+12

=2

7

．
∵△ACD為等邊三角形，
∴∠CDA=60°，
∴∠AEC=

1

2

∠CDA=30°．
∴AE=2OA=8．
在Rt△AOE中，OE=

EA2-OA2

=

82-42

=4

3

，
∴CE=OE-OC=2

3

．
∴CF=

1

2

CE=

3

．
在Rt△CDF中，DF=

CD2-CF2

=

28-3

=5．
∴S△CDE=

1

2

CE×DF=

1

2

×2

3

×5=5

3

．

（3）存在，
分兩種情況考慮：
當(dāng)Q在第一象限時(shí)，若四邊形PQDB為平行四邊形，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=6.5，
∴Q橫坐標(biāo)為10.5或2.5，
當(dāng)Q在第四象限時(shí)Q的橫坐標(biāo)為7.5，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為10.5、7.5或2.5．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，分類討論時(shí)注意考慮問(wèn)題要全面．