Question

在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-

3

4

x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點P從點B出發(fā)沿BA向終點A運動，同時動點Q從點O出發(fā)沿OB向點B運動，到達點B后立刻以原來的速度沿BO返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)點P到達點A時停止運動，點Q也同時停止．連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．
（1）求點P的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點Q從點O向點B運動時（未到達點B），是否存在實數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）伴隨著P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為直線l．是否存在t的值，使得直線l經(jīng)過點O？若存在，請求出所有t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）表示邊長首要就是表示出來，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及線段成比例等性質(zhì)易表示出，PD，PC的長，即得坐標．
（2）討論面積一般是計算底和高，然后表示出面積解析式，進而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論最值或范圍．而第一問求得OA=3，OB=4，易得S_△AOB僅為6，而S_△BQP≤S_△AOB，所以定不存在實數(shù)t，使得面積大于17．
（3）垂直平分線上的點到兩邊距離相等，利用這個性質(zhì)，我們只要表示出OP，和OQ即可．但討論時注意Q點的運動時個往返的過程，要有兩種情形．

解答：解：（1）

如圖，過點P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．
∵y=-

3

4

x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B
∴A（4，0），B（0，3），
在Rt△BDP中，
∵OB=3，OA=4，
∴AB=5．
∵BP∥OA，
∴

DP

OA

=

BP

BA

，
∵BP=t，
∴

DP

4

=

t

5

，
∴DP=

4

5

t．
∵由點P過AB，
∴將x=

4

5

t代入y=-

3

4

x+3，得y=-

3

5

t+3，
∴P（

4

5

t，-

3

5

t+3）．

（2）不存在實數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17．
∵Q、P在OB、OA上運動，
∴S_△BQP≤S_△AOB．
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

•3•4=6，
∴S_△BQP≤6＜17，
∴不存在實數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17．

（3）
∵P（

4

5

t，-

3

5

t+3），
∴OC=

4

5

t，PC=-

3

5

t+3，
∴OP2=(

4

5

t)2+(3-

3

5

t)2，
∵O在l的垂直平分線上，
∴OP=OQ．
①當(dāng)0＜t≤3時，OP=t，則t²=(

4

5

t)2+(3-

3

5

t)2，解得 t=

5

2

，符合要求．
②當(dāng)3＜t≤5時，
∵BQ=t-3，
∴OQ=3-（t-3）=6-t，
∴（6-t）²=(

4

5

t)2+(3-

3

5

t)2
解得 t=

45

14

，符合要求．
綜上所述，t=

5

2

或

45

14

時，O在l的垂直平分線上．

點評：本題考查了一次函數(shù)解析式與其線上點坐標的關(guān)系性質(zhì)，并結(jié)合面積來讓學(xué)生探索動點問題，是一道非常常規(guī)的題目，難度也適中．但其第二問的結(jié)論是我們不經(jīng)常見的，學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中通常固定認為，存在性問題通常的結(jié)論都是存在，而且計算復(fù)雜，當(dāng)然常規(guī)作法我們要掌握，但類似本題的不存在可能性也要注意，往往這個解釋會比解釋存在不合實際要容易的多，請大家平時注意積累．