Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣x+c與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，直線y＝﹣x+b與拋物線相交于點A，D，與y軸交于點E，已知OB＝，OC＝2．

（1）求a，b，c的值；

（2）點P是拋物線上的一個動點，若直線PE∥AC，連接PA、PE，求tan∠APE的值；

（3）動點Q從點C出發(fā)，沿著y軸的負方向運動，是否存在某一位置，使得∠OAQ+∠OAD＝30°？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），b=-1，c=2；（2）；（3）點Q的坐標為（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）先確定B、C點坐標，再利用待定系數(shù)法求拋物線解析式得到a、c的值，然后解方程

﹣x2﹣x+2＝0得A（﹣2，0），然后把A點坐標代入y＝﹣x+b得b的值；

（2）易得直線AC的解析式為y＝x+2，E（0，1），利用直線平移得到直線PE的解析式為y＝x﹣1，則解方程組得P點坐標為（3，4）或

（，0）；當P點坐標為（，0），即P點與B點重合，易得tan∠APE＝，此時∠ABH＝30°；當P點坐標為（3，4）時，作AH⊥PE于H，根據(jù)面積法求出PH，然后根據(jù)正切定義計算tan∠APH的值；

（3）先計算出∠CAO＝30°，∠ACO＝60°，AC＝2OC＝4，則可判斷∠CAQ＝∠OAD，作QF⊥AC于F，如圖，設Q（0，t），利用三角函數(shù)的定義得到CQ＝2t，CF＝CF＝， FQ＝，則AF＝3+t，通過Rt△AQF∽Rt△AEO得（2﹣t）：1＝（3+t）：，解方程求出t得到此時Q點的坐標，易得Q（0，）關于x軸的對稱點（0，）也滿足條件．

解：（1）∵OB＝，OC＝2，

∴B（，0），C（0，2），

把B（，0），C（0，2）代入y＝ax2﹣x+c得，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x+2，

當y＝0時，﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝，則A（﹣2，0），

把A（﹣2，0）代入y＝﹣x+b得﹣1+b＝0，解得b＝﹣1；

（2）易得直線AC的解析式為y＝x+2，E（0，﹣1），

∵直線PE∥AC，

∴直線PE的解析式為y＝x﹣1，

解方程組得或，則P點坐標為（﹣3，﹣4）或（，0）；

當P點坐標為（，0），即P點與B點重合，tan∠APE＝＝，此時∠ABH＝30°，

當P點坐標為（﹣3，﹣4）時，作AH⊥PE于H，如圖2，

PB＝＝8，

∵S△APB＝，

∴AH＝，

∴BH＝，

∴PH＝8﹣，

在Rt△APH中，tan∠APH＝，

綜上所述，tan∠APE的值為或；

（3）存在．

如圖2，在Rt△OAC中，tan∠OAC＝，

∴∠CAO＝30°，∠ACO＝60°，

∴AC＝2OC＝4，

∵∠OAQ+∠OAD＝30°，

∴∠CAQ＝∠OAD，

作QF⊥AC于F，如圖，設Q（0，t），

在Rt△CQF中，CQ＝2﹣t，CF＝CF＝，FQ＝，

∴AF＝AC﹣CF＝4﹣＝3+t，

∵∠QAF＝∠OAE，

∴Rt△AQF∽Rt△AEO，

∴FQ：OE＝AF：AO，即（2﹣t）：1＝（3+t）：，解得t＝，此時Q（0，），

易得Q（0，）關于x軸的對稱點（0，﹣）也滿足條件，

綜上所述，點Q的坐標為（0，）或（0，﹣）．