【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側),與y軸交于點C.
(1)求出△ABC的周長.
(2)在直線BC上方有一點Q,連接QC、QB,當△QBC面積最大時,一動點P從Q出發(fā),沿適當路徑到達y軸上的M點,再沿與對稱軸垂直的方向到達對稱軸上的N點,連接BN,求QM+MN+BN的最小值.
(3)在直線BC上找點G,K是平面內一點,在平面內是否存在點G,使以O、C、G、K為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出K的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,滿足條件的點K的坐標為(,)或(,)或(,).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求出A,B,C的坐標即可解決問題.
(2)如圖1中,作QH∥OC交BC于H.設Q(m,m2m+3),構建二次函數(shù)求出△BCQ的面積最大時Q的坐標,如圖2中,作點Q關于y軸的對稱點Q',在Q'Q上取一點Q″,使得Q'Q″=MN,連接Q″B交對稱軸于N,作NM⊥y軸于M,連接QM,則此時QM+MN+BN的值最。蟪BQ″的長即可解決問題.
(3)分二種情形:當OC=CG時,可得菱形OCGK,菱形OCG'K'.當CG″是菱形的對角線時,可得菱形OCK″G″,分別求解即可解決問題.
(1)對于拋物線y,
令x=0,得到y=3,可得C(0,3),
令y=0,得到x2﹣5x﹣6=0,解得:x=﹣1或6,
∴A(﹣1,0),B(6,0),
∴OA=1,OC=3,OB=6,
∴AB=7,AC2,BC3,
∴△ABC的周長=7+237+5.
(2)如圖1中,作QH∥OC交BC于H.
設Q(m,m2m+3),
∵C(0,3),B(6,0),
∴直線BC的解析式為yx+3,
∴H(m,m+3),
∴QHm2+3m,
∴S△QBCQH(Bx﹣x)(m2+3m)×6
(m﹣3)2,
∵0,
∴m=3時,△BCQ的面積最大,此時Q(3,6),
如圖2中,作點Q關于y軸的對稱點Q',在Q'Q上取一點Q″,
使得Q'Q″=MN,
連接Q″B交對稱軸于N,作NM⊥y軸于M,連接QM,
則此時QM+MN+BN的值最。
∵Q'(﹣3,6),Q'Q″,
∴Q″(,6),
BQ″,
∵QM=MQ',四邊形Q'Q″NM是平行四邊形,
∴NQ″=MQ',
∴MQ+MN+BN=MN+NQ″++BN=MN+BQ″,
∴QM+MN+BN的最小值為.
(3)如圖3中,
①當OC=CG時,可得菱形OCGK,菱形OCG'K'.
設G(m,).
∵GK∥CO,GK=CO,
∴K(m,).
∵OC=CG,
∴,
整理得:,
解得:m=,或m=.
當m=時,=,
此時G(,),K(,);
當m=時,=,
此時G'(,),K'(,);
②當CG″是菱形的對角線時,可得菱形OCK″G″,設對角線的交點為T.
設G″(m,).
∵G″K″∥CO,G″K″=CO,
∴K″(m,).
∵OG″=CO,
∴,
整理得:,
解得:m=0(舍去),或m=.
當m=時,=,此時G″(,),K″(,).
綜上所述:滿足條件的點K的坐標為(,)或(,)或(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某校“綜合實踐”社團,計劃利用長的柵欄材料,一邊靠原有舊墻圍成如圖所示的兩個矩形試驗田,墻的長度為.
(1)能否圍成總面積為的試驗田?若能,求出的長度;若不能,說明理由;
(2)能否圍成總面積為的試驗田?說說你的理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=﹣1,且拋物線經(jīng)過 A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求此時點M的坐標;
(3)設點P為拋物線對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了開展“陽光體育運動”,計劃購買籃球和足球.已知購買20個籃球和40個足球的總金額為4600元;購買30個籃球和50個足球的總金額為6100元.
(1)每個籃球、每個足球的價格分別為多少元?
(2)若該校購買籃球和足球共60個,且購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額,則該校最多可購買多少個籃球?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了掌握某次數(shù)學模擬考試卷的命題質量與難度系數(shù),命題教師選取一個水平相當?shù)某跞昙夁M行調研,命題教師將隨機抽取的部分學生成績分為5組:第一組75~90;第二組90~105;第三組105~120;第四組120~135;第五組135~150.統(tǒng)計后得到如圖所示的頻數(shù)分布直方圖(每組含最小值不含最大值)和扇形統(tǒng)計圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
請將頻數(shù)分布直方圖補充完整;若老師找到第五組中一個學生的語文、數(shù)學、英語三科成績,如表.老師將語文、數(shù)學、英語成績按照3:5:2的比例給出這位同學的綜合分數(shù).求此同學的綜合分數(shù).
科目 | 語文 | 數(shù)學 | 英語 |
得分 | 120 | 146 | 140 |
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【題目】已知拋物線y=(m﹣2)x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點.
(1)求m的取值范圍;
(2)當m取滿足條件的最大整數(shù)時,求拋物線與x軸有兩個交點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=6,陰影部分圖形的面積為( )
A. 4πB. 3πC. 2πD. π
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長均為l的小正方形網(wǎng)格紙中,△ABC的頂點A、B、C均在格點上,O為直角坐標系的原點,點A(﹣1,0)在x軸上.
(1)以O為位似中心,將△ABC放大,使得放大后的△A1B1C1與△ABC的相似比為2:1,要求所畫△A1B1C1與△ABC在原點兩側;
(2)分別寫出B1、C1的坐標.
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