Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+mx+n與直線y=﹣ x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（1）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）條件下，P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得

，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+3．

聯(lián)立 ，

解得： 或 ，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．

過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC= ．

同理：∠ACO=45°，AC=3 ，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC= ；

（2）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，

則∠PGA=90°．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，

①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，

∴ ．

∴AG=3PG=3x．

則P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣3x，

整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．

②如圖2②，

當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG= PG= x，則P（x，3﹣ x），

把P（x，3﹣ x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣ x，

整理得：x2﹣ x=0，解得：x1=0（舍去），x2= ，∴P（ ， ）；

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，

①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．

②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（ ， ）．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（ ， ）、（ ， ）．

【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于m、n的方程組，從而可求得m、n；過點(diǎn)B作BH⊥OH，先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后再證明△AOC和△BHC為等腰直角三角形，從而可求得∠ACB=90°，然后依據(jù)勾股定理可求得AC、BC的長，最后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得答案。
（2）過點(diǎn)P作PG⊥OA，當(dāng)G在點(diǎn)A的下方時(shí)，分為∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA兩種情況，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，分為∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA兩情況分類計(jì)算即可．.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象的平移和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．