Question

【題目】如圖，拋物線L：與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），已知對(duì)稱(chēng)軸x=1．

（1）求拋物線L的解析式；

（2）將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2≤h≤4；（3）P（1，4）或（0，3）或（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

（2）先求出直線BC解析式為y=﹣x+3，再求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出當(dāng)x=1時(shí)，y=2；結(jié)合拋物線頂點(diǎn)坐即可得出結(jié)果；

（3）設(shè)P（m，），Q（﹣3，n），（3）設(shè)P（m，），Q（﹣3，n）．分兩種情況討論：①當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，可證明△PQM≌△BPN（AAS），得到PM=BN，由PM=BN=，根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，得到，解方程即可．

②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于l于M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線與N點(diǎn)，同理可得△PQM≌△BPN，得到PM=BN， PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=，則，解方程即可．

試題解析：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1，B（3，0），∴A（﹣1，0）．

∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，3），∴當(dāng)x=0時(shí)，c=3．

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為：；

（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直線BC解析式為y=﹣x+3，∵=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）

∵對(duì)于直線BC：y=﹣x+1，當(dāng)x=1時(shí)，y=2；將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，∴當(dāng)h=2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在BC上；

當(dāng)h=4時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在OB上，∴將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），則2≤h≤4；

（3）設(shè)P（m，），Q（﹣3，n）．分兩種情況討論：

①當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，如圖所示，∵B（3，0），∵△PBQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，BP=PQ，則∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，在△PQM和△BPN中，∵∠PMQ=∠BNP，∠MPQ=∠BNP，PQ=BP，∴△PQM≌△BPN（AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=，根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，∴，解得：m=1或m=0，∴P（1，4）或P（0，3）．

②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于l于M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線與N點(diǎn)，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM=BN，∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=，則，解得m=或，∴P（，）或（，）．

綜上可得，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），（0，3），（，）和（，）．